POJ2409 Let it Bead

一道好题。

我们考虑旋转和翻转的循环节个数就可以了。

先说旋转：

旋转应该是朝着一个方向从旋转1个到n个

此时循环节个数为1

此时循环节个数为2

从上面两个我们可以看出旋转长度为k时，循环节长度为lcm(n,k)/k,所以循环节个数为n/lcm(n,k)/k=gcd(n,k)

再说翻转：

考虑奇偶

奇：

循环节个数为3

共可以翻转n次循环节长度为n/2，所以循环节个数为(n+1)/2

偶：

分两种情况讨论

循环节个数为2

共可以左右对称n/2次，循环节长度为2，循环节个数为n/2个

循环节个数为3

共可以对角线对称n/2次，循环节长度为2，循环节个数为(n-2)/2+2个

所以到这里我们就把所有情况讨论了。

 

代码 By：大奕哥

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,sum;
int gcd(int x,int y)
{
    if(!y)return x;
    return gcd(y,x%y);
}
int quick_mod(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=ans*a;
        a=a*a;b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&m,&n)&&n&&m)
    {
        sum=0;for(int i=1;i<=n;++i)sum+=quick_mod(m,gcd(n,i));
        if(n&1)sum+=n*quick_mod(m,(n+1)/2);
        else sum+=(n/2)*(quick_mod(m,n/2)+quick_mod(m,(n+2)/2));
        sum=sum/(n*2);printf("%d
",sum);
    }
    return 0;
}