Understanding Quaternions

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正文

在这篇文章中我会尝试用简单的方式去解释四元数的概念，即用可视化的方式解释四元数以及几种对四元数的操作。我将把矩阵、欧拉角和四元数放在一起比较，并解释什么时候该用四元数、什么时候该用欧拉角或矩阵。

介绍

在计算机图形学中，我们使用转换矩阵来表示空间中的一个位置以及朝向。一个转换矩阵还可以表示对一个目标的缩放(scale)或错切(shear)等。我们可以把转换矩阵想象成一个空间，当你用这个矩阵乘以向量、点（甚至矩阵）后，你就把向量、点、矩阵转换进这个空间了。

在这篇文章中，我不会讨论转换矩阵的细节。你可以查看我前面的文章，文章中描述了转换矩阵的细节。

在这篇文章中，我想要讨论一个可替代的方案，即用四元数来描述空间里的物体的朝向。

四元数的概念是由爱尔兰数学家Sir William Rowan Hamilton发明的（1843年，都柏林）。Hamilton当时正和他的妻子前往爱尔兰皇家研究院，当他从Brougham桥通过皇家运河时，他领悟到了一个激动人心的东西，并立刻把它刻在桥的一个石头上：

William Rowan Hamilton Plaque on Broome Bridge on the Royal Canal commemorating his discovery of the fundamental formula for quaternion multiplication.

复数

在我们能够完全理解四元数之前，我们必须先知道四元数是怎么来的。四元数的根源其实是复数。

除了知名的数集（自然数、整数、实数、分数）之外，复数系统引入了一个新的数集——虚数。虚数的发明是为了解决一些特定的无解的方程，例如：

要解决这个等式，必须让

这当然是不行的，因为任意实数的平方都是非负数。

一般而言，数学家是不能忍受一个等式是无解的。于是，一个新的术语被发明了，它就是虚数，一个可以解决上面这个等式的数。

虚数有这样的形式：

不要为这个术语较真，因为逻辑上这个数是不存在的。只要知道i是一个平方等于-1的东西即可。

虚数的集合可以用来表示

复数的集合 $C$

可以认为所有实数都是b=0的复数、所有虚数都是a=0的复数。

复数的加减

加法：

减法：

复数的系数缩放

复数的积

复数的平方

共轭复数

复数的共轭就是指把复数的虚数部分变成负的。共轭复数的符号是 $\bar{z}$

复数和它的共轭复数的乘积是：

复数的绝对值

我们使用共轭复数来计算复数的绝对值：

两复数的商

i的幂

如果 $i$

如果按照这个顺序写下去，会出现这样一个模式： (1,mathbf i,-1,-mathbf i,1,...)

一个类似的模式也出现在递增的负数幂：

i

你可能已经在数学里头见过类似的模式，但是是以（x,y,-x,-y,x,...)的形式，这是在2D笛卡尔平面对一个点逆时针旋转90度时生成的；（x,-y,-x,y,x,...)则是在2D笛卡尔平面对一个点顺时针旋转90度时生成的。

复数平面

我们也能够把复数映射到一个2D网格平面——复数平面，只需要把实数映射到横轴、虚数映射到纵轴。

如前面的序列所示，我们可以认为，对一个复数乘以i，这个复数就在复数平面上旋转了90度。

让我们看看这是不是真的。我们随机地在复数平面上取一个点：

t刚好是开始的p。如果我们把这些复数放到复数平面上，就得到下面的图：

我们也可以按顺时针方向旋转，只需要把上面的乘数i改成-i。

旋转数（Rotors)

我们也可以在复数平面上进行任意角度的旋转，只需要定义下面这个复数：

这也是一个在复数平面绕原点逆时针旋转任意点的方法。（译注：这句话应该是在说旋转矩阵）

四元数

补充：

（mathbf i mathbf j, mathbf j mathbf k, mathbf k mathbf i这几个性质的可视化）

上图展示了如何用i、j、k作为笛卡尔坐标系的单位向量。

四元数的加减

四元数的积

再把这个表达式扩展成多个有序对的和：

如果把后3个四元数相加，并提取公共部分，就可以把等式改写成：

这个等式是2个有序对的和。第1个有序对是一个实四元数，第2个是一个纯四元数。这两个四元数也可以合并成一个：

如果把下面的表达式代入上面的等式：

（译注：注意，第三条和第四条并不是四元数的点积和叉积，而是向量的点积和叉积）

我们就得到了：

这就是四元数乘积的一般式。

实四元数

四元数的系数缩放

纯四元数

四元数的加法形式

我们可以把四元数写成实四元数和纯四元数的和：

单位四元数

给定任意的向量v，我们可以把这个向量写成一个系数和一个单位方向向量的乘积：

将这个定义和纯四元数的定义结合，就得到了：

四元数的二元形式

我们现在可以把单位四元数的定义和四元数的加法形式结合到一起，就创造了一种新的四元数的表示法，这种表示法和复数的表示法形似：

这就给了我们一种和复数非常相似的四元数表示法：

共轭四元数

四元数范数

四元数规范化

四元数的逆

四元数的点积

和向量的点积相似，我们也可以计算2个四元数的点积，只需要将各个对应的系数相乘，然后相加:

旋转

前面我们定义了一个特殊的复数：旋转数。它是用来旋转2D复数平面的点的：

根据四元数和复数的相似性，应该有可能设计一个可以旋转3D空间的点的四元数：

让我们测试一下这个理论是否可靠，方法就是计算四元数q和向量p的积。第一步，我们把p写成纯四元数的形式：

以及单位四元数q：

我们可以看到结果是一个同时有系数、有虚向量的四元数。

好了，现在计算下qp：

这正是我们所期望的！

我们可以用图像展示旋转过程：

现在，让我们考虑更一般化的四元数，即和p不正交的四元数。现在让我们把p的向量部分偏移45度：

我们可以用图像展示旋转过程：

然而，还有一线生机。Hamilton发现（但没有正式宣布），如果对qp右乘q的逆，出来的结果是一个纯四元数，并且四元数向量部分的范数可以保持不变。让我们试试应用在我们的例子里。

现在，把前面算出来的qp再次拿出来：

下面的图像展示了旋转结果：

所以我们可以看到，这个结果是一个纯四元数，并且原四元数的向量的范数也保持住了。但是还有一个问题：向量被旋转了90度而不是45度。这刚好是我们需要的度数的两倍！为了正确地让一个向量绕某个轴向量旋转某个角度，我们必须以目标角度的一半来计算。因此，我们构造了下面的四元数：

这就是旋转四元数的一般形式！

四元数插值

在计算机图形学中使用四元数，其中一个重要原因是四元数非常适合用来表示空间中的旋转。四元数解决了其他3维空间旋转算法会遇到的恼人的问题，比如使用欧拉角来表示旋转操作时会遇到的万向节锁问题(Gimbal lock)。

使用四元数，我们可以定义好几种方案来表示3维空间的转动插值。第一种是SLERP，它被用来把一个点(物体)从一个朝向平滑地插值到另一个朝向。第二个是SLERP的扩展版本，被称为SQAD，它被用来处理用一系列朝向定义得到的一条路径的插值。

SLERP

四元数的差

四元数的幂运算

接下来的目标是干掉上面四元数的差的分数部分，方法是计算四元数的t次幂(就是上面的那个插值参数t，区间是[0,1])。

四元数的幂运算的一般化公式是：

(译注：上述的2次公式推导，其实省略了很多证明过程。具体可以参考：http://bpeers.com/blog/?itemid=861,http://bpeers.com/blog/?itemid=863,http://bpeers.com/blog/?itemid=866, http://bpeers.com/blog/?itemid=1001 )

对于t = 0，我们有：

而对于t = 1，有：

2个四元数的分数差

对于角旋转的插值计算，我们利用q1和q2的角度分数差来调整原始朝向q1：

这也就是使用四元数的球面线性插值的一般形式。然而，这不是slerp函数的常用形式。

我们可以应用类似的用于计算向量的球面插值公式，到四元数里。计算向量的球面插值的一般形式定义如下：

用图像表示如下：

这个公式可以原封不动地应用到四元数：

注意事项

这个方案有2个问题，必须在实现过程中加以考虑。

第一，如果四元数点积的结果是负值，那么后面的插值就会在4D球面上绕远路，这并不是我们想要的。为了解决这个问题，我们测试点积的结果，当结果是负值时，我们将2个四元数的其中一个取反，取反它的系数和向量部分，并不会改变它代表的朝向。而经过这一步操作，可以保证这个旋转走的是最短路径。

当 $q_{1}$

SQUAD

总结

除了特别难理解之外，相比矩阵或欧拉角，四元数在表示旋转这个事情上，拥有一些明显的优点。

SLERP和SQUAD，提供了一种使得在朝向之间可以平滑过渡的方法。
使用四元数来串联"旋转"，要比使用矩阵快得多。
对于单位四元数，逆向旋转可以通过对向量部分取反来实现。而计算一个矩阵的逆矩阵是被认为比较慢的，如果这个矩阵未被标准正交化的话(标准正交矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵)。
从四元数转换到矩阵，要比从欧拉角转换到矩阵快一点。
四元数只需要4个数字(如果旋转四元数已经单位化了那么只需要3个，实数部分可以在运行时计算)来表示一个旋转，而矩阵需要至少9个数字。

尽管使用四元数有这么多优点，还是有缺点存在的。

因为浮点数的舍入运算错误，四元数可能会变无效。不过，这个错误可以通过重新单位化四元数来避免。
使用四元数最具威慑性的地方，还是四元数的理解难度大。我希望这个问题可以通过阅读本文来解决。

存在一些已经实现了四元数、并且是正确的的数学程序库。在我的个人经验里，我发现GLM(OpenGL Math Library)是一个优秀的数学库，它的四元数的实现极其不错。如果你对在你的程序中使用四元数感兴趣，那么我会推荐你使用这个数学库。

下载Demo

我实现了一个小demo来演示一个四元数如何被用来旋转一个3维物体。这个demo是用Unity3.5.2实现的，你可以免费下载它和阅读它的脚本。zip文件也包含了一个Windows版的Unity程序。当然你可以自己构建一个Mac的版本。

Understanding Quaternions.zip