前情提要：$O(n^{0.75}/log n)$ 时间的积性函数求和。当 $n ge 10^{12}$ 的时候需要十几秒出解。
如果积性函数的性质更好，那么我们可以更快地求和。
假设积性函数 $f$ 和易于求和的积性函数 $g$ 满足 $f(p)=g(p)$，且 $f=g*h$, $g*h$ 表示 $g, h$ 的狄利克雷卷积，也就是 $f(n)=sum_{d|n}g(d)hleft({n over d} ight)$.
那么我们函数 $h$ 可能比较难看，但是它具有性质：$h(p)=0$. 这意味着，凡是满足 $h(n) e 0$ 的数都是powerful number, 换句话说它的每个素因子次数都不小于 $2$.
Powerful number 可以写成 $a^2b^3$ 的形式。
$sum_{b=1}^{sqrt[3]n}sqrt{n over b^3}=Oleft(sqrt nint_{1}^{sqrt[3]n}t^{-1.5}mathrm dt ight)=O(sqrt n)$
所以 powerful number 的个数是 $O(sqrt n)$.
设 $G$ 是 $g$ 的前缀和。现在我们有：
$$sum_{i=1}^nf(i)=sum_{i=1}^nsum_{j|i}gleft({i over j} ight)h(j)=sum_{[j le n, j ext{ is powerful}]}^nh(j)Gleft({n over j} ight)$$
于是如果我们已经对于所有 powerful number $i$ 求出 $gleft({n over i} ight)$, 则后续的积性函数求和步骤将在 $O(sqrt n)$ 时间内完成。
当然 $g$ 的求和可能会比较难做。一些特殊的数论函数可能可以杜教筛求和。比较有意思的是这么一个例子：
题目来源：钟子谦。这是他的 powerful number 求和法博客链接。
设积性函数 $f$ 满足 $f(p^c)=2^c$, 求 $sum_{i=1}^N f(i)$, $N le 10^{12}$.
注意到 $f(p)=2$, 设 $g(n)$ 表示 $n$ 的约数个数，$g(p)=2=f(p)$. 再构造 $h(p^c)=2^{c-2}(c ge 2)$, 得 $f=g*h$.
由于 $G(n)=sum_{i=1}^nsum_{j|i}1=sum_{ij le n}1=2sum_{i=1}^{lfloorsqrt n floor}leftlfloor{n over i} ight floor-(lfloorsqrt n floor)^2$, 可在 $O(sqrt n)$ 时间内求 $G(n)$.
所以对于所有 $k={n over a^2b^3}$ 求 $G(k)$, 时间复杂度为 $Oleft(sum_{a, b}sqrt{n over a^2b^3} ight)=Oleft(sum_{a}sqrt{n over a^2} ight)=O(sqrt nlog n)$.