欧拉公式

定义:$phi(n)= sum^{n-1}_{i=1,gcd(i,n)=1} $

即欧拉函数

对(pin P, phi(p)=p-1),可以从质数的定义中得到

接下来有2个集合，(A={a1,a2...a_{phi(n)}}),(B={c*a1,c*a2...c*a_{phi(n)}})

其中(gcd(c,n)=1)

很明显，A是一个n的既约剩余系，接下来要证明B是n的既约剩余系

取(k,jin[1,phi(n)]),设(c*a_kequiv c*a_j(modn))

(nmid c*(a_k-a_j)),由于(gcd(c,n)=1)，(nmid (a_k-a_j))

又因为(mid a_k-a_j mid in [0,n-1]),只有(k=j)是才成立

所以B中每个元都不重复，是一个既约剩余系

(prod^{phi(n)}_{i=1} a_i * c^{phi(n)} equiv prod^{phi(n)}_{i=1} a_i (modn))

即(c^{phi(n)} equiv 1 (modn))

与费马小定理相似，证明一个带有互质乘积的集合为既约剩余系来约去数列项，最后得到结果

update:2020.5.3

扩展欧拉定理

需要注意的一点是，对于方程

(a^{(bmodphi(m)+phi(m))}(modm))

当(b>=modphi(m))时很显然成立

当(bin[0,phi(m))),只能直接计算，扩展欧拉定理在这样的情况下不一定适用

至于在何种情况下使用，还有待探究