luogu3768 简单的数学题题解
原题地址:https://www.luogu.com.cn/problem/P3768
题意:求
[Sigma_{i=1}^nSigma_{j=1}^n ijgcd(i,j)
]
这个式子看起来很基础，但是可以看到数据范围大于(1e8)，求和上指标又同为(n),此题肯定有一些特殊的做法
先按照常规的套路，设
[d=(i,j)
]
并将(d)直接提出来
[Sigma_{d=1}^nd^3 Sigma_{i=1}^{n/d}Sigma_{j=1}^{n/d}ij[(i,j)=1]
]
右边的式子用莫比乌斯函数的和式替代
[Sigma_{d=1}^nd^3 Sigma_{i=1}^{n/d}Sigma_{j=1}^{n/d}ijSigma_{k|(i,j)}mu(k)
]
将(k)往左边提
[Sigma_{d=1}^nd^3 Sigma_{k=1}^{n/d}k^2mu(k)(Sigma_{i=1}^{n/kd}i)^2
]
设右边的和式为(c),并用(T=kd)换元
[Sigma_{d=1}^nd^3 Sigma_{T=1}^n c(T)^2(T/d)^2mu(T/d)
]
整理式子
[Sigma_{T=1}^nc(T)^2T^2Sigma_{d|T}dmu(T/d)
]
根据狄利克雷卷积的性质
[varphi=mu*id
]
可以将右边的式子用(varphi)代替
[Sigma_{T=1}^n c(T)^2T^2varphi(T)
]
观察右侧的式子，可以发现(T^2varphi(T))是一个积性函数(两个数论函数的积仍为积性函数)，考虑处理这一部分，试图用杜教筛的式子向上套
[g(1)S(n)=Sigma_{i=1}^nH_i-Sigma_{i=2}^ng(i)S(n/i)
]
其中
[S(n)=Sigma_{i=1}^nf(i),H=f*g,f(n)=n^2varphi(n)
]
观察(f(n))，(varphi)难以直接处理，肯定要被转化掉，那就利用狄利克雷卷积中的(id=I*varphi),设(g(n)=1)则
[H(n)=n^2Sigma_{d|n}varphi(d)=n^3
]
通过解递推方程可以发现，(Sigma_{i=1}^nH_i)就是原式中的(c^2),于是式子的形式就很简洁了
[S(n)=c(n)^2-Sigma_{i=2}^ni^2S(n/i)
]
直接代入原式求解就可以辣
小结:此题在莫反的基础上有扩展，上指标相同看似简化条件，实际上对性能要求更高。推式子时利用了狄利克雷卷积来处理(mu),并在最后杜教筛处理前缀和时再次利用了(varphi)的性质，算是对数论函数关系的灵活拓展