前缀和与查分

一维前缀和很好理解就不说了
二维前缀和：sum[i][j]=a[i][j]+sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]
sum[i-1][j-1]是前两个矩阵重叠的那部分 就是多加了一次需要减掉
对于以点（x1,y1）和点（x2,y2）为顶点的矩阵部分的和：
sum=sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]
sum[x1-1][y1-1]是重叠的多减的那一部分矩阵的和

差分：
差分是前缀和的逆运算，给定数组a[ ]，构造一个数组 b[ ]使得对数组b求前缀和得到的是数组a 即b[i]=a[i]-a[i-1]
如果数组a 中某段连续子区间[l,r]同时加上一个数c，那么只需对两步就可以了 b[l]+=c, b[r+1]-=c;(l之前求前缀和a没有变化，l到r求前缀和会加一个bl加的c 而从b[r+1]之后±c抵消不变）

#include<iostream>
using namespace std;

const int maxn=1e5+10;
int a[maxn],b[maxn];


int main()
{
    int n,q;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)   //从1开始可以避免对0的初始化 
        b[i]=a[i]-a[i-1];//也可以当做是在区间[i,i]加a[i]
    while(q--)
    {
        int l,r,c;
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
        b[l]+=c;
        b[r+1]-=c;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        b[i]+=b[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",b[i]);
    return 0;
}

二维差分：
与一维差分类似，是对于二维数组a和b b求前缀和得到 a

#include<iostream>
using namespace std;

const int maxn=1010;
int a[maxn][maxn],b[maxn][maxn];
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1]+=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main()
{
    int n,m,q;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)//第0列和第0行全部都是0 不影响结果 还不用在单独初始化
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            b[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];
            //insert(i,j,i,j,a[i][j]) 也是可以的 
        }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
        insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
            printf("%d ",b[i][j]);
        }
        puts("");
    }
            
    return 0;
}