BZOJ 4540: [Hnoi2016]序列

4540: [Hnoi2016]序列

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Description

　　给定长度为n的序列：a1,a2,…,an，记为a[1:n]。类似地，a[l:r]（1≤l≤r≤N）是指序列：a_l,a_l+1,…,a_r-
1,a_r。若1≤l≤s≤t≤r≤n，则称a[s:t]是a[l:r]的子序列。现在有q个询问，每个询问给定两个数l和r，1≤l≤r
≤n，求a[l:r]的不同子序列的最小值之和。例如，给定序列5,2,4,1,3，询问给定的两个数为1和3，那么a[1:3]有
6个子序列a[1:1],a[2:2],a[3:3],a[1:2],a[2:3],a[1:3]，这6个子序列的最小值之和为5+2+4+2+2+2=17。

Input

　　输入文件的第一行包含两个整数n和q，分别代表序列长度和询问数。接下来一行，包含n个整数，以空格隔开
,第i个整数为ai，即序列第i个元素的值。接下来q行，每行包含两个整数l和r，代表一次询问。

Output

　　对于每次询问，输出一行，代表询问的答案。

Sample Input

5 5
5 2 4 1 3
1 5
1 3
2 4
3 5
2 5

Sample Output

28
17
11
11
17

HINT

1 ≤N,Q ≤ 100000,|Ai| ≤ 10^9

Source

分析：

莫队~~~

考虑从$[l,r-1]$扩展到$[l,r]$的时候答案的变化...

增加的区间就是左端点为$l~r$右端点位$r$的区间，我们只需要$O(1)$地求出这些区间的最小值之和就好了...

我们求出$[l,r]$的最小值$a[Min]$，发先$a[Min]$的贡献就是$a[Min]*(Min-l+1)$，后面的那些区间的最小值一定不是$a[Min]$，所以我们可以预处理一个数组$f[i]$，代表的是$sum _{l=1}^{i} min[l,i]$...那么答案就是$f[r]-f[Min]+a[Min]*(Min-l+1)$...

考虑为什么不能直接用$f$来更新答案，因为对于当前的查询区间，我们规定了左端点，也就是最小值不能超出左端点，但是考虑我们对于$f[i]$的求法：$f[i]=f[l[i]]+(i-l[i])*a[i]$，这个是对于左端点没有限制的，限制的是$l[i]$也就是左边第一个比$a[i]$小的值，现在我们修改当前区间的时候先求出最小值，也就求出了$l[i]$限制了$f$数组中最小值的范围...

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath> 
//by NeighThorn
using namespace std;

const int maxn=100000+5;

int n,m,blo,top,a[maxn],l[maxn],r[maxn],id[maxn],st[maxn][25],stk[maxn]; 
long long tmp,f[maxn],g[maxn],ans[maxn];

struct M{
	int l,r,num;
}q[maxn];

inline bool cmp1(M a,M b){
	if(id[a.l]!=id[b.l])
		return id[a.l]<id[b.l];
	return a.r<b.r;
}

inline bool cmp(int x,int y){
	return a[x]<a[y];
}

inline int read(void){
	char ch=getchar();int f=1,x=0;
	while(!(ch>='0'&&ch<='9')){
		if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return f*x;
}

inline void init(void){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		st[i][0]=i;
	for(int j=1;j<=20;j++)
		for(int i=1;i+(1<<j-1)<=n;i++)
			st[i][j]=min(st[i+(1<<j-1)][j-1],st[i][j-1],cmp);
}

inline int query(int l,int r){
	int len=r-l+1,k;
	for(k=20;k>=0;k--)
		if(len&(1<<k)||k==0)
			break;
	return min(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k],cmp);
}

inline void prework(void){
	top=0;
	for(int i=1;i<=n+1;i++){
		while(top&&a[stk[top]]>=a[i]) r[stk[top--]]=i;
		stk[++top]=i;
	}
	for(int i=n;i>=0;i--){
		while(top&&a[stk[top]]>=a[i]) l[stk[top--]]=i;
		stk[++top]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=f[l[i]]+1LL*(i-l[i])*a[i];
	for(int i=n;i>=1;i--) g[i]=g[r[i]]+1LL*(r[i]-i)*a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<i<<" "<<f[i]<<" "<<g[i]<<endl; 
}

inline void changer(int l,int r,int val){
	int Min=query(l,r);
	tmp+=1LL*val*(1LL*a[Min]*(Min-l+1)+f[r]-f[Min]);
}

inline void changel(int l,int r,int val){
	int Min=query(l,r);
	tmp+=1LL*val*(1LL*a[Min]*(r-Min+1)+g[l]-g[Min]);
}

signed main(void){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("seq.out","w",stdout);
#endif
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(); 
	for(int i=1;i<=m;i++) q[i].l=read(),q[i].r=read(),q[i].num=i;
	blo=sqrt(n);init();
	for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=(i-1)/blo+1;
	sort(q+1,q+m+1,cmp1);tmp=0;prework();
	for(int i=1,l=1,r=0;i<=m;i++){
		for(;r<q[i].r;r++) changer(l,r+1, 1);
		for(;r>q[i].r;r--) changer(l,r  ,-1);
		for(;l<q[i].l;l++) changel(l  ,r,-1);
		for(;l>q[i].l;l--) changel(l-1,r, 1);
		ans[q[i].num]=tmp;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld
",ans[i]);
	return 0;
}

　　

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By NeighThorn