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  • GDOI2015的某道题目

    分析:

    考试的时候由于一些神奇的原因(我就不说是什么了)...没有想$C$题,直接交了个暴力上去...

    然后发现暴力的数组开的太大,由于矩阵乘法的需要做$m$次初始化,所以只拿到了10分...

    我们一步一步来挖掘题目中隐含的条件...

    首先,这个矩阵乘法很特殊,是位运算的形式,那么也就是说,每一位的运算是独立的,所以我们可以拆位,处理每一位的运算...

    然后考虑对于其中的一位如何快速计算一个矩阵的$n$次幂...考虑到每一个格子只有可能是$0$或$1$,观察发现,对于数字$a[i][j]$,只有当第$i$行和第$j$列是相同的时候,我们新的到的矩阵中$a[i][j]$才是$0$,否则因为是$or$运算,所以只要有一位不同就是$1$...

    那么我们考虑$A^{m-1}*A=A^{m}$,记$X=A^{m-1}$,$Y=A^m$,我们考虑$X$的每一个行向量对应的$Y$中的行向量是什么样子的,如果当前的行向量和$A$中的任意一个列向量都相等的话,那么新得到的行向量就是一个全为$1$的向量,否则,最多只有可能有$n$种取值,现在我们假设$A$中的每一个列向量都互不相同,那么也就是说,当前的行向量只有可能有一个地方是$0$,这个$0$最多有$n$中位置...所以当前行向量所对应的结果中的行向量最多有$n+1$种取值...因为每一次我们乘上的矩阵都是相同的,所以说无论进行多少次乘法,我们都只有可能在$n+1$种取值中给行向量赋值...那么也就是说,现在我们有一个$n+1$个点的图,然后我们需要在这张图上走$m-1$步,那么就可以倍增找到答案...至于对于图的预处理我们可以用$bitset$来加速...

    没有想出来的原因:

    没有充分利用到位运算的性质区进行拆位,没有想到去考虑每个行向量所对应的结果是存在循环的...

    代码:

    一开始实在不理解怎么做所以直接抄了一遍$std$...

    #include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<cstdio>
    //by NeighThorn
    using namespace std;
    
    const int maxn=500+5;
    
    int n,m,tot,a[maxn][maxn],f[maxn<<1][30],id[maxn],ans[maxn][maxn];
    
    struct M{
    	
    	unsigned long long a[8];
    	
    	friend bool operator == (M x,M y){
    		for(int i=0;i<=7;i++)
    			if(x.a[i]!=y.a[i])
    				return false;
    		return true;
    	}
    	
    	inline void modify(int pos,int x){
    		a[pos>>6]|=1ULL<<(pos&63);
    		if(!x)
    			a[pos>>6]^=1ULL<<(pos&63);
    	}
    	
    	inline bool query(int pos){
    		return (a[pos>>6]>>(pos&63))&1;
    	}
    	
    }colu[maxn],node[maxn<<1];
    
    inline int build(void){
    	for(int i=1;i<=tot;i++)
    		if(node[i]==node[tot+1])
    			return i;
    	int res=++tot;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		node[tot+1].modify(i,!(node[res]==colu[i]));
    	f[res][0]=build();
    	return res;
    }
    
    signed main(void){
    	freopen("C.in","r",stdin);
    	freopen("C.out","w",stdout);
    	scanf("%d%d",&n,&m);m--;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		for(int j=1;j<=n;j++)
    			scanf("%d",&a[i][j]);
    	for(int i=0;i<=30;i++){
    		for(int j=1;j<=n;j++)
    			for(int k=1;k<=n;k++)
    				colu[j].modify(k,(a[k][j]>>i)&1);
    		tot=0;
    		for(int j=1;j<=n;j++){
    			for(int k=1;k<=n;k++)
    				node[tot+1].modify(k,(a[j][k]>>i)&1);
    			id[j]=build();
    		}
    		for(int j=1;j<=29;j++)
    			for(int k=1;k<=tot;k++)
    				f[k][j]=f[f[k][j-1]][j-1];
    		for(int j=0;j<=29;j++)
    			if(m&(1<<j))
    				for(int k=1;k<=n;k++)
    					id[k]=f[id[k]][j];
    		for(int j=1;j<=n;j++)
    			for(int k=1;k<=n;k++)
    				ans[j][k]|=node[id[j]].query(k)<<i; 
    	}
    	for(int i=1;i<=n;i++,puts(""))
    		for(int j=1;j<=n;j++)
    			printf("%d ",ans[i][j]);
    	return 0;
    }
    /*
    Never give up.
    Bless all.
    */
    

      


    By NeighThorn

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/neighthorn/p/6696519.html
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