#1445 : 后缀自动机二·重复旋律5
描述
小Hi平时的一大兴趣爱好就是演奏钢琴。我们知道一个音乐旋律被表示为一段数构成的数列。
现在小Hi想知道一部作品中出现了多少不同的旋律？
解题方法提示
小Hi：本周的题目其实就是给定一个字符串S，要求出S的所有不同子串的数目。小Ho你知道如何快速求解么？
小Ho：我们最近在讨论后缀自动机，所以肯定是和后缀自动机有关！根据上周学习的SAM的基本概念和性质，SAM的每个状态st都包含了一部分S的子串，记作substrings(st)，并且(1)对于两个不同状态u和v，包含的子串substrings(u) ∩ substrings(v) = ∅; (2)每个子串都恰好被一个状态包含。所以我们只要构造出来S对应的SAM，再对所有状态st求Σ(maxlen(st)-minlen(st))就是子串的数目。
小Hi：没错。上周我们提到SAM有O(length(S))的构造法。这周我们就来讲一讲如何构造。
小Hi：首先，为了实现O(length(S))的构造，我们对于每个状态不能保存太多数据。例如substring(st)肯定是没法保存下来了。对于状态st我们只保存如下数据：
| 数据 | 含义 |
|---|---|
| maxlen[st] | st包含的最长子串的长度 |
| minlen[st] | st包含的最短字串的长度 |
| trans[st][] | st的转移函数 |
| slink[st] | st的Suffix Link |
小Hi：其次，我们用增量法构造S对应的SAM。我们从初始状态开始，每次添加一个字符S[1], S[2], ... S[N]，依次构造可以识别S[1], S[1..2], S[1..3], ... S[1..N]=S的SAM。
小Hi：假设我们已经构造好了S[1..i]的SAM。这时我们要添加字符S[i+1]，于是我们新增了i+1个S[i+1]的后缀要识别：S[1..i+1], S[2..i+1], ... S[i..i+1], S[i+1]。 考虑到这些新增状态分别是从S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)通过字符S[i+1]转移过来的，所以我们还要对S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)对应的状态们增加相应的转移。
小Hi：我们假设S[1..i]对应的状态是u，等价于S[1..i]∈ substrings(u)。根据上周的讨论我们知道S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)对应的状态们恰好就是从u到初始状态S的由Suffix Link连接起来路径上的所有状态，不妨称这条路径(上所有状态集合)是suffix-path(u->S)。
小Hi：显然至少S[1..i+1]这个子串不能被以前的SAM识别，所以我们至少需要添加一个状态z，z至少包含S[1..i+1]这个子串。
小Hi：首先考虑一种最简单的情况：对于suffix-path(u->S)的任意状态v，都有trans[v][S[i+1]]=NULL。这时我们只要令trans[v][S[i+1]]=z，并且令slink[st]=S即可。
小Hi：例如我们已经得到"aa"的SAM，现在希望构造"aab"的SAM。如下图所示：
小Hi：此时u=2，z=3，suffix-path(u->S)是桔色状态组成的路径2-1-S。并且这3个状态都没有对应字符b的转移。所以我们只要添加红色转移trans[2][b]=trans[1][b]=trans[S][b]=z即可。当然也不要忘了slink[3]=S。
小Ho：那要是suffix-path(u->S)上有一个节点v，使得trans[v][S[i+1]]!=NULL怎么办？
小Hi：好问题。我们以下图为例，假设我们已经构造"aabb"的SAM如图，现在我们要增加一个字符a构造"aabba"的SAM。
小Hi：这时u=4，z=6，suffix-path(u->S)是桔色状态组成的路径4-5-S。对于状态4和状态5，由于它们都没有对应字符a的转移，所以我们只要添加红色转移trans[4][a]=trans[5][a]=z=6即可。面对S时我们遇到了小Ho你提出的问题，trans[S][a]=1已经存在，怎么办？
小Ho：怎么办呢？
小Hi：不失一般性，我们可以认为在suffix-path(u->S)遇到的第一个状态v满足trans[v][S[i+1]]=x。这时我们需要讨论x包含的子串的情况。如果x中包含的最长子串就是v中包含的最长子串接上字符S[i+1]，等价于maxlen(v)+1=maxlen(x)，比如在上面的例子里，v=S, x=1，longest(v)是空串，longest(1)="a"就是longest(v)+'a'。这种情况比较简单，我们只要增加slink[z]=x即可。
小Hi：如果x中包含的最长子串 不是 v中包含的最长子串接上字符S[i+1]，等价于maxlen(v)+1 < maxlen(x)，这种情况最为复杂，不失一般性，我们用下图表示这种情况，这时增加的字符是c，状态是z。
小Hi：在suffix-path(u->S)这条路径上，从u开始有一部分连续的状态满足trans[u..][c]=NULL，对于这部分状态我们只需增加trans[u..][c]=z。紧接着有一部分连续的状态v..w满足trans[v..w][c]=x，并且longest(v)+c不等于longest(x)。这时我们需要从x拆分出新的状态y，并且把原来x中长度小于等于longest(v)+c的子串分给y，其余字串留给x。同时令trans[v..w][c]=y，slink[y]=slink[x], slink[x]=slink[z]=y。
小Ho：好像比较复杂。
小Hi：我们来举个例子。假设我们已经构造"aab"的SAM如图，现在我们要增加一个字符b构造"aabb"的SAM。
小Hi：当我们处理在suffix-path(u->S)上的状态S时，遇到trans[S][b]=3。并且longest(3)="aab"，longest(S)+'b'="b"，两者不相等。其实不相等意味增加了新字符后endpos("aab")已经不等于endpos("b")，势必这两个子串不能同属一个状态3。这时我们就要从3中新拆分出一个状态5，把"b"及其后缀分给5，其余的子串留给3。同时令trans[S][c]=5, slink[5]=slink[3]=S, slink[3]=slink[6]=5。
小Hi：整个过程的代码如下，其中状态0代表初始状态S；状态u, v, x, y, z的意义如上文所述；-1代表slink或者trans不存在。
const int MAXL = 1000000;
string s;
int n = 0, len, st;
int maxlen[2 * MAXL + 10], minlen[2 * MAXL + 10], trans[2 * MAXL + 10][26], slink[2 * MAXL + 10];
int new_state(int _maxlen, int _minlen, int* _trans, int _slink) {
maxlen[n] = _maxlen;
minlen[n] = _minlen;
for(int i = 0; i < 26; i++) {
if(_trans == NULL)
trans[n][i] = -1;
else
trans[n][i] = _trans[i];
}
slink[n] = _slink;
return n++;
}
int add_char(char ch, int u) {
int c = ch - 'a';
int z = new_state(maxlen[u] + 1, -1, NULL, -1);
int v = u;
while(v != -1 && trans[v][c] == -1) {
trans[v][c] = z;
v = slink[v];
}
if(v == -1) { //最简单的情况，suffix-path(u->S)上都没有对应字符ch的转移
minlen[z] = 1;
slink[z] = 0;
return z;
}
int x = trans[v][c];
if(maxlen[v] + 1 == maxlen[x]) { //较简单的情况，不用拆分x
minlen[z] = maxlen[x] + 1;
slink[z] = x;
return z;
}
int y = new_state(maxlen[v] + 1, -1, trans[x], slink[x]); //最复杂的情况，拆分x
slink[y] = slink[x];
minlen[x] = maxlen[y] + 1;
slink[x] = y;
minlen[z] = maxlen[y] + 1;
slink[z] = y;
int w = v;
while(w != -1 && trans[w][c] == x) {
trans[w][c] = y;
w = slink[w];
}
minlen[y] = maxlen[slink[y]] + 1;
return z;
}
小Ho：咦？程序倒是意外的简单。
输入
共一行，包含一个由小写字母构成的字符串。字符串长度不超过 1000000。
输出
一行一个整数，表示答案。
- 样例输入
- aab
- 样例输出
- 5
代码：
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//by NeighThorn
using namespace std;
const int maxn=2000000+5;
int last=1,tail=1,Min[maxn],Max[maxn],nxt[maxn][26],fail[maxn];
char s[maxn];
inline void build(char *s){
while(*s){
int p=last,t=++tail,c=*s++-'a';
Max[t]=Max[p]+1;
while(p&&!nxt[p][c])
nxt[p][c]=t,p=fail[p];
if(p){
int q=nxt[p][c];
if(Max[q]==Max[p]+1)
fail[t]=q,Min[t]=Max[q]+1;
else{
int k=++tail;
fail[k]=fail[q];
fail[t]=fail[q]=k;
Max[k]=Max[p]+1;
Min[q]=Max[k]+1;
Min[t]=Max[k]+1;
Min[k]=Max[fail[k]]+1;
memcpy(nxt[k],nxt[q],26*sizeof(int));
while(nxt[p][c]==q)
nxt[p][c]=k,p=fail[p];
}
}
else
fail[t]=1,Min[t]=1;
last=t;
}
}
inline void calc(void){
long long ans=0;
for(int i=2;i<=tail;i++)
ans+=Max[i]-Min[i]+1;
printf("%lld
",ans);
}
signed main(void){
scanf("%s",s);build(s);calc();
return 0;
}
$By NeighThorn$