复杂度与LeetCode

复杂度

什么是算法？

算法是用于解决特定问题的一系列的执行步骤

// 计算a和b的和
public static int plus(int a, int b){
	return a + b;
}

// 计算1+2+3+...+n的和
public static int sum(int n){
	int result = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		result += i;
	}
	return result;
}

使用不同算法，解决同一个问题，效率可能相差非常大

• 比如：求第 n 个斐波那契数（fibonacci number）

如何评判一个算法的好坏？

如果单从执行效率上进行评估，可能会想到这么一种方案

• 比较不同算法对同一组输入的执行处理时间

• 这种方案也叫做：事后统计法

上述方案有比较明显的缺点

• 执行时间严重依赖硬件以及运行时各种不确定的环境因素

• 必须编写相应的测算代码

• 测试数据的选择比较难保证公正性

一般从以下维度来评估算法的优劣

• 正确性、可读性、健壮性（对不合理输入的反应能力和处理能力）

• 时间复杂度（time complexity）：估算程序指令的执行次数（执行时间）

• 空间复杂度（space complexity）：估算所需占用的存储空间

// 计算1+2+3+...+n的和
public static int sum1(int n){
	int result = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		result += i;
	}
	return result;
}
//计算1+2+3+...+n的和
public static int sum2(int n){
	return (1 + n) * n / 2;
}

由于现在硬件发展的较好，一般情况下我们更侧重于时间复杂度。

大O表示法（Big O）

一般用大O表示法来描述复杂度，它表示的是数据规模 n 对应的复杂度

忽略常数、系数、低阶：

• 9 >> O(1)
• 2n + 3 >> O(n)
• n² + 2n + 6 >> O(n²)
• 4n³ + 3n² + 22n + 100 >> O(n³)
• 写法上，n³ 等价于 n^3

注意：大O表示法仅仅是一种粗略的分析模型，是一种估算，能帮助我们短时间内了解一个算法的执行效率

对数阶的细节

对数阶一般省略底数

• log₂n = log₂9 ∗ log₂n

所以 log₂n 、log₉n 统称为 logn

常见的复杂度

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n² ) < O(n³ ) < O(2ⁿ ) < O(n!) < O(nⁿ)

可以借助函数生成工具对比复杂度的大小

函数图像绘制工具

数据规模较小时

数据规模较大时

多个数据规模的情况

时间复杂度：O(n + k)

public static void test(int n, int k){
	for(int i = 0; i < n; i++){
		System.out.println("test");
	}
	for (int i = 0; i < k; i++){
		System.out.println("test");
	}
}

LeetCode刷题指南

首先去 https://leetcode-cn.com/ 注册一个力扣账号。

我们以力扣上一道斐波那契的题目为例，顺便分析算法的时间复杂度。
题目网址：LeetCode: 509.斐波那契数

斐波那契数列复杂度分析

斐波那契数列-递归

时间复杂度为：O(2ⁿ)

public static int fib1(int n) {
	if (n <= 1) return n;
	return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
}

我们放到力扣上去执行一下：效率奇差无比！

斐波那契数列-循环

不开辟任何空间，只使用循环完成

时间复杂度为：O(n)

public static int fib2(int n) {
	if (n <= 1) return n;
    
	int first = 0;
	int second = 1;
	// 也可以使用while循环
	while (n-- > 1) {
		second += first;
		first = second - first;
	}
	return second;
}

开辟新的数组空间，用空间换时间。

public static int fib3(int n){
	if(n <= 1) return n;
	
	int[] fib = new int[n+1];
	fib[0] = 0;
	fib[1] = 1;
	for(int i = 2; i < fib.length; i++){
		fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
	}
	return fib[n];
}

在力扣上执行上面代码发现没太大区别！

fib函数的时间复杂度分析

fib1 函数和fib2 函数的差别有多大？

如果有一台 1GHz 的普通计算机，运算速度 10⁹ 次每秒，n为64
O(n) 大约耗时 6.4 * 10^-8秒
O(2ⁿ) 大约耗时 584.94年
有时候算法之间的差距，往往比硬件方面的差距还要大

斐波那契的线性代数解法 – 特征方程

时间复杂度：视为 O(1)

算法的优化方向

用尽量少的存储空间

用尽量少的执行步骤（执行时间）

根据情况，可以

• 空间换时间
• 时间换空间