浅谈二分

• 大家一定对二分法有所耳闻吧！它的定义是什么？它的用途又是什么？下面我就来介绍一下二分法及其用途。

引子

例题

找出函数(f(x) = 3x - 3)在闭区间([0，4])的零点。

解法

• 首先，令(L = -1)，(R = 1)。
• 然后进行如下操作，直到(f(mid) = 0)为止。

1. 算出(L)和(R)的代数平均数(mid)，且(mid in mathbb{Z})，即整数(mid = lfloor dfrac{a + b}{2} floor)。
2. • 若(f(mid) = 0)，找到答案
   • 若(f(mid) > 0)，让(b = mid)，缩小区间
   • 若(f(mid) < 0)，让(a = mid)，缩小区间
3. 回到步骤(1)。
   如果你没有明白的话，那就看图吧。。。

1. (L = 0, R = 4, mid = lfloor dfrac{0 + 4}{2} floor = 2)
2. (f(mid) = f(2) = 3 > 0)
3. 因为(f(x))为单调递增函数，所以零点肯定在(2)左边。
4. 缩小范围至([0,2])，(R = 2)。
5. 此时(mid = lfloor dfrac{0 + 2}{2} floor= 1)
6. (f(mid) = f(1) = 0)！
7. 找到答案(0)。

例题回顾（条件）

• 在上面的例题中，能够正确地使用以上“缩小范围区间”的解法的条件是什么呢?
• 显然，函数(f(x))需要是单调的，而到底是递增还是递减就无所谓了。

二分法

• 对于区间([a, b])上连续不断且(f(a) imes f(b) < 0)的函数(y=f(x))，通过不断地把函数(f(x))的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

在信息学中，二分法最常见的体现就是二分答案。

在这篇随笔中，我主要讲解的就是二分答案。

二分答案

• 二分答案,是通过不断缩小解可能存在的范围,从而求得问题答案的方法。

举例

猜数字

• 事先准备一个([1, 100])的正整数，让电脑猜。每次猜测会告诉猜数与答案的大小关系。

• 朴素的方法：枚举法，从(1 - 100)依次尝试，直到猜对为止。时间复杂度为(O(n))。

• 二分答案：
  (L = 1, R = 100, mid = lfloor dfrac{L + R}{2} floor = 50)，设答案为(ans)。
  只要(L leqslant R)，尝试(mid)，

  [ left{ egin{aligned} & 若mid > ans，则R = mid； \ & 若mid < ans，则L = mid + 1； \ & 若mid = ans，猜对了。 end{aligned} ight.]

  时间复杂度为(O(log n))。

为什么二分

• 更充分地利用已知条件，大幅度减少遍历范围
• 二分答案具有“先猜后证”的特点，可以给题目多增加一个条件，也许可以大幅度减小算法的时间开销

在什么情况下可以二分

• 答案存在单调性
  

什么意思呢？

我们不妨假设答案满足条件为(1)，不满足为(0)；

那么如果一个答案序列为(0000000111)或(1111100000)，都存在单调性，那就都可以；

而如果序列是(000011011000110000)，那就不满足单调性，于是就不能进行二分答案了。

能够解决的问题

二分答案能够解决哪些问题呢？如下：

• 最大的最小值
• 最小的最大值
• 在满足条件的情况下的最小（大）值
• 最接近一个值的值
• …… 在一个单调序列中特殊的点基本上都能二分。

模板（(C++)）

// 这是一个求满足条件的最小值的二分模板
int left = 0, right = MAX, mid, ans; // left为左边界，right为右边界
while(left <= right){ // 只要存在区间
    mid = (left + right) >> 1; // 等价于(left + right) / 2，只不过这样写运行速度会稍快一些
    if(check(mid)) ans = mid, right = mid - 1; // 如果mid满足条件，那ans（答案）肯定不大于mid
    else left = mid + 1; // 如果不能满足条件，ans区间最小值肯定大于mid
} printf("%d
", ans); // 输出答案

为什么第五行要加上ans = mid呢？

原因：如果(mid)恰好就是正确答案，(check(mid))满足，为(true)，于是进入本句。如果将(right)设为(mid - 1)的话，就永远得不到(ans)了（可以想一想为什么）

这就出现了另一种写法——

// 这是一个求满足条件的最小值的二分模板
int left = 0, right = MAX, mid; // left为左边界，right为右边界
while(left < right){ // #注意这里改变#
    mid = (left + right) >> 1; // 等价于(left + right) / 2，只不过这样写运行速度会稍快一些
    if(check(mid)) right = mid; // #注意这里也改变#
    else left = mid + 1; // 如果不能满足条件，ans区间最小值肯定大于mid
} printf("%d
", right); // 输出答案

不过我个人建议还是写第一种好（更好理解，不容易错）。

那这两段代码中的(check)函数是干什么的呢？

其实，布尔型函数(check(x))是用来判断(x)条件下是否能成功（满足题目条件）。

练习题

• 奶牛晒衣服

• 营救 （如果不会最小生成树请自动跳过~）

• (NOIP2015) 跳石头

• 【模板】最长公共子序列

• ……