2020/06/13
开坑莫比乌斯反演（只是一个平平无奇的搬运工罢了）。
参考： 莫比乌斯反演 - OI Wiki
前置知识
引理1
证明：
设
所以
引理2
略证：
对于 (d le sqrt{n})，(lfloor frac{n}{d} floor) 有 (sqrt{n}) 种取值；
对于 (d > sqrt{n})，由于 (lfloor frac{n}{d} floor le sqrt{n})，所以也只有 (sqrt{n}) 种取值。
综上，得证。
数论分块
(Rightarrow) 传送门
积性函数
定义
若 (gcd(a,b) = 1) 且 (f(xy) = f(x)f(y)) ，则称 (f(x)) 为积性函数。
性质
若 (f(x)) 和 (g(x)) 为积性函数，则以下函数也为积性函数：
证明：
前三个显然，下面证明 (h(x) = sum limits_{dmid x} f(d) g(frac{x}{d})) （两个积性函数的 Dirichlet 卷积还是积性函数）：
例子
-
单位函数：(epsilon(1) = left[ n = 1 ight])
-
恒等函数：(operatorname{id}_k(n)=n^k)，(operatorname{id}_1(n)) 通常记作 (operatorname{id}(n))
-
常数函数：(1(n)=1)
-
除数函数：(sigma_k(n) = sum limits_{d mid n} d^k)，(sigma_0(n)) 通常记作 (operatorname{d}(n)) 或 ( au(n)) （即约数的个数），(sigma_1(n)) 通常记作 (sigma(n))
-
欧拉函数：(varphi(n) = sum limits_{i=1}^{n} left[ gcd(i,n) = 1 ight])，即小于等于 (n) 的数中与 (n) 互质的数的个数
-
莫比乌斯函数：(mu(n) = egin{cases} 1 & n=1\ 0 & exists d > 1, operatorname{s.t.} d^2 mid n \ -1^{omega(n)} & otherwise \ end{cases})
(exists d > 1, operatorname{s.t.} d^2 mid n) 即存在一个质因子出现了两次以上。
(omega(n)) 表示 (n) 的本质不同的质因子的个数。
Dirichlet 卷积
定义
定义两个数论函数的 Dirichlet 卷积为
性质
Dirichlet 卷积满足交换律和结合律。
其中 (varepsilon) 为 Dirichlet 卷积的单位元，即对任意数论函数 (f(x))，都有 (f(x) ast varepsilon = f(x))
例子
莫比乌斯函数
定义
(mu) 为莫比乌斯函数，其定义为
性质
莫比乌斯函数是积性函数，且它还有以下性质：
即 (sum limits_{d mid n} mu(d) = varepsilon(n))，即 (mu ast 1 = varepsilon)
证明
设 (n = prod limits_{i=1}^{k} p_{i}^{c_i}, n'=prod limits_{i=1}^{k} p_{i})，
那么 (sum limits_{d mid n} mu(d) = sum limits_{d mid n'} mu(d) = sum limits_{i=1}^{k} inom{k}{i} cdot (-1)^{i})，
根据二项式定理，可以知道 (sum limits_{i=1}^{k} inom{k}{i} cdot (-1)^{i} = left[1+(-1) ight]^{k})。
所以 (sum limits_{d mid n} mu(d)) 在 (k=0) 时等于 (1)，否则等于 (0)，即 (sum limits_{d mid n} mu(d) = varepsilon(n))。
补充结论
反演结论：(left[ gcd(i,j) = 1 ight] iff sum limits_{d mid gcd(i,j)} mu(d))
证明：直接用上面的结论推导即可。
线性筛
线性筛几乎可以筛所有的积性函数，(mu) 也不例外。
void getMu() {
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; ++i) {
if (!vis[i]) p[++tot] = i, mu[i] = -1;
for (int j = 1; j <= tot && i * p[j] <= N; ++j) {
vis[i * p[j]] = 1;
if (i % p[j] == 0) {
mu[i * p[j]] = 0;
break;
}
mu[i * p[j]] = -mu[i];
}
}
}
莫比乌斯反演
定义
对于两个数论函数 (f(n),g(n))，若
则
证明
法一：运用数论变换
然后由 (sum limits_{d mid n} mu(d) = varepsilon(n)) 可知，只有当 (n=k) 时，最后一步中的 (sum limits_{d mid frac{n}{k}}) 才等于 (1)，所以 (sum limits_{k mid n} g(k) sum limits_{d mid frac{n}{k}} mu(d) = sum limits_{d mid n} mu(d) f(frac{n}{d}) = g(n)) 。
证毕。
法二：利用卷积
原问题为：已知 (f = gast 1)，证明 (g = f ast mu)
(f ast mu = g ast 1 ast mu = g) （其中 (1ast mu = varepsilon)）
非卷积形式
对于数论函数 (f,g) 和完全非积性函数 (t)，且 (t(1)=1)，则
证明留作习题。