[ZJOI2019]线段树

Description

现在可怜手上有一棵 ([1,n]) 上的线段树，编号为 (1)。这棵线段树上的所有节点的 (tag) 均为 (0)。接下来可怜进行了 (m) 次操作，操作有两种：

• (1 l r)，假设可怜当前手上有 (t) 棵线段树，可怜会把每棵线段树复制两份（(tag) 数组也一起复制），原先编号为 (i) 的线段树复制得到的两棵编号为 (2i-1) 与 (2i)，在复制结束后，可怜手上一共有 (2t) 棵线段树。接着，可怜会对所有编号为奇数的线段树进行一次 (operatorname{Modify}(root,1,n,l,r))。

• (2)，可怜定义一棵线段树的权值为它上面有多少个节点 (tag) 为 (1)。可怜想要知道她手上所有线段树的权值和是多少。

(n,m le 10^5.)

Solution

经过 (k) 次复制后，会有 (2^k) 棵线段树，但是仔细观察后会发现，这 (2^k) 棵线段树对应的正是 (k) 次操作集合的所有可能子集。

继续分析，可以发现其实每次操作时，线段树上的点只有四类：

1. 红色点：会被访问到，标记被下放的节点
2. 黑色点：会被访问并且修改的节点
3. 灰色点：会被访问到，未被修改但可能会有标记下放的节点
4. 白色点：不会被访问到的点

容易想到一个 ( ext{dp})，设 (f_{u,i}) 为节点 (u) 在第 (i) 次修改后 (tag) 为 (1) 的节点的个数，但是这样会发现灰色点无法转移，因为并不知道 (u) 到根节点的路径上是否有 (tag) 为 (1) 的节点，使得其 (tag) 能下放到灰色点上。

于是索性将不知道的东西定义成状态，设 (g_{u，i}) 表示节点 (u) 在第 (i) 次修改后从 (u) 到根节点的路径上有多少个至少有一个 (tag) 为 (1) 的点。

下面考虑如何进行转移：

1. 红色点： 有一半点的标记会被下放，所以 (f) 不变，同时由于红色点到根路径的所有点标记都会被下放，所以 (g) 也不变。

   [egin{cases} f_{u,i} = f_{u,i-1} \ g_{u,i} = g_{u,i-1} \ end{cases} ]

2. 黑色点： 因为有一半的点会被修改，因此 (f,g) 的贡献都翻倍。

   [egin{cases} f_{u,i} = f_{u,i-1} + 2^{i-1} \ g_{u,i} = g_{u,i-1} + 2^{i-1} \ end{cases} ]

3. 灰色点： 这类点需要到根路径有 (tag) 为 (1) 的点才能被下放从而使自身的 (tag) 变为 (1)，所以 (f) 直接利用 (g) 转移即可，而 (g) 本身并无变化，但由于线段树翻倍的影响，也随之翻倍。

   [egin{cases} f_{u,i} = f_{u,i-1} + g_{u,i-1} \ g_{u,i} = g_{u,i-1} + g_{u,i-1} \ end{cases} ]

4. 白色点： 这类点没有进行任何操作，所以 (f,g) 直接随着线段树翻倍而翻倍即可。

   [egin{cases} f_{u,i} = f_{u,i-1} + f_{u,i-1} \ g_{u,i} = g_{u,i-1} + g_{u,i-1} \ end{cases} ]

前三类点一次都可以在 (O(log n)) 的内修改完成，而第四类点的一次修改是 (O(n)) 的，所以还需要打标记。

Code