[Codeforces 8E] Beads

Brief Intro：

将所有n位二进制串中满足字典序不大于其逆序串，取反串，逆序取反串中按字典序排序的第m个输出

n<=50

Algorithm:

首次接触数位DP的题目

根据数据范围，我们不能枚举。从而只能一位一位确定

由于要求字典序第m大的，我们可以通过求出如果当前位为0的个数来确定该位为0还是1

接下来就是典型的数位DP了

数位DP其实也就是一个记忆化的过程，同时在状态中用变量对上界加以标识

此题中即为dp[cur][rev][inv]，后两位表示是否达到反串上界和逆串上界

Code:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

ll n,k,dp[55][2][2],res[55];

ll solve(ll cur,ll rev,ll inv)
{
    if(dp[cur][rev][inv]>-1) return dp[cur][rev][inv]; //记忆化
    if(cur*2>=n) return dp[cur][rev][inv]=1;
    
    ll &ret=dp[cur][rev][inv]=0;
    for(int i=0;i<2;i++)
        if(res[cur+1]==i || res[cur+1]==-1)
            for(int j=0;j<2;j++)
                if(res[n-cur]==j || res[n-cur]==-1)
                    if((i==j || 2*cur+1!=n) && (!rev || i<=j) && (!inv || i<=1-j))
                        ret+=solve(cur+1,rev&(i==j),inv&(i!=j));
    return ret;
}

int main()
{
    cin >> n >> k;k++;
    
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    memset(res,-1,sizeof(res));
    
    if(solve(0,1,1)<k)
        return cout << -1,0;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        res[i]=0;
        ll t=solve(0,1,1); //判断该位的值
        if(t<k) k-=t,res[i]=1;
        cout << res[i];
    }
    return 0;
}

Review:

1、对于求第k个满足要求的数时

可以通过  已知前缀枚举满足要求的个数+逐位确定每一位 的方法来取代枚举

2、数位DP的特殊点仅仅在对上界状态的维护，其余和记忆化搜索相同