[BZOJ 3233] 找硬币

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BZOJ 3233 传送门

Solution:

在本蒟蒻看来算是一道比较神的$dp$了

一开始转移方程都没看出来……

首先，如果确定了最大面值，是能推出其他面值的所有可能值的

从而发现最大面值能由较小的面值转移过来：

$dp[i]=min{ dp[i/j]-sum{ a[k]/i*(j-1)} }$

（其中$a[k]/i$是大面值需要的个数，$a[k]/(i/j)$是小面值需要的个数，余数不处理）

下面就要处理$j$的取值了，

首先要看到一个比较明显的性质：用$dp[i]$转移肯定不会比用$dp[i/j]$差，毕竟种类更多

于是$j$应为质数（$i$的质因数），否则$i/j<i/MinPrime$，从而$dp[i/MinPrime]$一定不比$dp[i/j]$差

因此不取合数对答案没有影响

在线性筛时可以顺便求出$x$的最小质因数$mn[x]$，方便后面求出$x$的每一个质因数

Code:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int MAXN=1e5+10;
int n,tot,mx,cnt,t,mn[MAXN],dat[MAXN],pri[MAXN],vis[MAXN],dp[MAXN],res;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&dat[i]),mx=max(mx,dat[i]),tot+=dat[i];
    
    mn[1]=1;
    for(int i=2;i<=mx;i++) //线性筛
    {
        if(!vis[i]) pri[++cnt]=i,mn[i]=i;
        for(int j=1;j<=cnt && i*pri[j]<=mx;j++)
        {
            vis[i*pri[j]]=1;mn[i*pri[j]]=pri[j];
            if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=mx;i++) dp[i]=tot;res=tot;
    for(int i=2;i<=mx;res=min(res,dp[i]),i++)
        for(int j=i;j>1;dp[i]=min(dp[i],t))
        {
            t=dp[i/mn[j]];
            for(int k=1;k<=n;k++) t-=dat[k]/i*(mn[j]-1);
            while(mn[j]==mn[j/mn[j]]) j/=mn[j];
            j/=mn[j];
        }
    printf("%d",res);
    return 0;
}

Review:

1、关于质因数分解的优化

只能算是常数上的优化吧

由于筛法时我们要保证合数只被自己的最小质因数筛去，

于是我们顺便记录下每个数最小的质因数$mn[x]$，再一步步推出下一个质因数

推导的方式

while(mn[j]==mn[j/mn[j]]) j/=mn[j];
j/=mn[j];

2、$dp$的思考技巧

如果不清楚对什么量$dp$，可以查找那些量可以推出上一步/下一步的值，往往对这些量$dp$