Luogu-5004 专心OI-跳房子(矩阵快速幂)
题解：
先考虑最朴素的dp
设(f[i][0/1])表示第(i)个位置跳/不跳的方案数，则：
[egin{cases}
f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-1][1]\
\
f[i][1]=f[i-m-1][0]+f[i-m-1][1]
end{cases}
]
发现可以将(f[i][0]+f[i][1])记为(g[i])，上式化为
[g[i]=g[i-1]+g[i-m-1]
]
很明显可以用矩阵快速幂加速转移：
(g[i])可以转移至下一次的(g[i])
(g[i-m])可以转移至下一次的(g[i])
(g[i])可以转移至下一次的(g[i-1])
也就是说，构建一个这样的矩阵：
[G=
left[
egin{matrix}
0&0&0&cdots&1\
1&0&0&cdots&0\
0&1&0&cdots&0\
0&0&1&cdots&0\
&&vdots\
0&0&0&cdots&1\
end{matrix}
ight]
]
初始矩阵(S[0][0]=1)
代码：
#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define qmax(x,y) (x=max(x,y))
#define qmin(x,y) (x=min(x,y))
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
inline ll read(){
ll ans=0,fh=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-') fh=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
return ans*fh;
}
const int P=1e9+7;
struct matrix{
int a[20][20];
}S,G,base,Tmp;
int m;
ll n;
inline void build(){
G.a[m][m]++,G.a[0][m]++;
for(int i=1;i<=m;i++)
G.a[i][i-1]++;
}
matrix operator * (matrix x,matrix y){
for(int i=0;i<=m;i++)
for(int j=0;j<=m;j++){
Tmp.a[i][j]=0;
for(int k=0;k<=m;k++)
(Tmp.a[i][j]+=1ll*x.a[i][k]*y.a[k][j]%P)%=P;
}
return Tmp;
}
matrix poww(matrix x,ll y){
for(int i=0;i<=m;i++)
base.a[i][i]=1;
while(y){
if(y&1) base=base*x;
x=x*x,y>>=1;
}
return base;
}
int main(){
// freopen("nh.in","r",stdin);
// freopen("zhy.out","w",stdout);
n=read(),m=read();
build(),G=poww(G,n+1);
int Ans=0;
for(int i=0;i<=m;i++)
(Ans+=G.a[0][i])%=P;
printf("%d
",Ans);
return 0;
}