恭介的法则

题目：

Description

终于，在众亲们的奋斗下，最终boss 恭介被关进了库特设计的密室。正当她们松了一口气时，这个世界却发生了天翻覆地的变化：地面开始下沉，天空开始变成血红色，海水沸腾……一幅世界末日的图景。美鱼从她手中的古籍《若山牧水诗歌集》中发现了原因：白鸟はかなしからずや空の青海のあをにも染まずただよふ。大（xia）意（shuo）就是狡猾的恭介在创造这个世界的时候就篡改了法则。而这个法则的起源，就是一只生死之间的猫。这个猫被关在一个黑盒子里，盒子里有两个毒气罐，如果有任意一个毒气罐被打开那么猫将会被杀死，法则也能得到纠正。然而外界能控制的仅仅是这两个毒气罐被打开的概率。假设第一个毒气罐被打开的概率为1/x，第二个毒气罐为1/y（x,y 为正整数），那么当两个概率和为1/(n!)时，猫将会被莫名其妙地杀死。现在美鱼想知道，有多少对(x,y)可以让猫被莫名其妙杀死。

Input

一行，一个正整数n

Output

一行，满足题意的(x,y)对数。

Sample Input

Sample Output

Data Constraint

对于30%的数据 n<=6

对于60%的数据 n<=50

对于100%的数据 n<=700000

题解：

先来一波因式分解

$frac{1}{x}+frac{1}{y}=frac{1}{n!}$

$frac{x+y}{x*y}=frac{1}{n!}$

$n!(x+y)=xy$

$xy-n!(x+y)=0$

$xy-n!(x+y)+(n!)^{2}=(n!)^{2}$

$(x-n!)(y-n!)=(n!)^{2}$

从 $(x-n!)(y-n!)=(n!)^{2}$ 可得 $x-n!$ 和 $y-n!$ 都是 $(n!)^{2}$ 的约数，所以只用求出 $(n!)^{2}$ 的约数个数。

因为这题数据很大，所以要高精度压8位（这题有坑，要输前导零）。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
long long n,k=0,len,ans[700005];
bool v[700005];
void mul(int x)
{
    for(int i=1;i<=len;i++)     
        ans[i]*=x;
    for(int i=1;i<=len;i++)
    {   
        ans[i+1]+=ans[i]/100000000;
        ans[i]%=100000000;
    }
    while(ans[len+1]>0)
    {
        len++;
        ans[len+1]+=ans[len]/100000000;
        ans[len]%=100000000;
    }
}
int main()
{
    len=1;
    k=1;
    scanf("%lld",&n);
    ans[1]=1;
    memset(v,true,sizeof(v));
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (v[i]==true)
        {
            int x=n,y=0;
            while(x>=i) 
                x/=i,y+=x;
            y=y*2+1;
               if(y*k>100000000)
                {
                mul(k);
                k=1;
            }
               k*=y;
                for(int j=i;j<=n;j+=i) 
                    v[j]=false;
        }
    }
    if (k>1) mul(k);
    printf("%lld",ans[len]);
    for (int i=len-1;i>0;i--)
        printf("%08lld",ans[i]);
}