[POI2007]ZAP-Queries

前置知识：莫比乌斯函数性质一（不会请点）

进入正题：

题目大意：
(T)组数据，每组给出(a),(b),(d)
求

[sum_{i=1}^a sum_{j=1}^b [gcd(i,j)=d] ]

解析

这题并不难
先变化一波

[sum_{i=1}^a sum_{j=1}^b [gcd(i,j)=d] = sum_{i=1}^a sum_{j=1}^b [gcd(frac{i}{d},frac{j}{d})=1] ]

现在我们知道 (i=i'*d) , (j=j'*d) 。
不妨，枚举 (i') 和 (j') ，则 (i') 最大为 (lfloor frac{a}{d} floor) , (j') 最大为 (lfloor frac{b}{d} floor) .
上式

[=sum_{i=1}^{lfloor frac{a}{d} floor} sum_{j=1}^{lfloor frac{b}{d} floor} [gcd(i,j)=1] ]

带入性质一

[egin{aligned} &=sum_{i=1}^{lfloor frac{a}{d} floor} sum_{j=1}^{lfloor frac{b}{d} floor} sum_{k|gcd(i,j)} mu(k) \ &=sum_{k=1}^{min(lfloor frac{a}{d} floor,lfloor frac{b}{d} floor)} mu(k) lfloor frac{lfloor frac{a}{d} floor}{k} floor lfloor frac{lfloor frac{b}{d} floor}{k} floor \ end{aligned} ]

这样还是过不了，还要用数论分块，才能过。
时间复杂度(O(sqrt{lfloor frac{a}{d} floor} + sqrt {lfloor frac{b}{d} floor}))

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int mo[60005],vis[60005],p[60005],tot=0;

void init()
{
	mo[1]=1;
	for (int i=2;i<=50005;i++)
	{
		if (!vis[i]) p[++tot]=i,mo[i]=-1;
		for (int j=1;j<=tot&&p[j]*i<=50005;j++)
		{
			vis[p[j]*i]=1;
			if (i%p[j]==0) break;
			mo[p[j]*i]=-mo[i];
		}
	}
	for (int i=1;i<=50005;i++) mo[i]+=mo[i-1];
}
int main()
{
	init();
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while (t--)
	{
		int a,b,d,ans=0;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
		a=a/d,b=b/d;
		for (int l=1,r;l<=min(a,b);l=r+1)
		{
			r=min(a/(a/l),b/(b/l));
			ans+=(a/l)*(b/l)*(mo[r]-mo[l-1]);
		}
		printf("%d
",ans);
	}
}