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HDU 6036 - Division Game [ 组合数学,NTT ] | 2017 Multi-University Training Contest 1
题意：
k堆石子围成一个圈，数量均为n，编号为0至k-1
第i轮可以操作第 (i+1) mod k 堆石子，必须拿石子且原石子数量要求整除操作后石子数量
任意一堆石子只剩一颗后停止游戏，问游戏停止在第i堆的方案数
限制:
n很大，按唯一分解定理形式给出 n = p1^e1 * p2^e2 * ... * pm^em
m,k <= 10 ∑ei <= 1e5
分析：
设 w = ∑ei ,则每堆石子最多操作w次
设 F(x) 为一个堆操作 x 次恰好变为1的方案数，则一个堆操作 x-1 次后不变为 1 的方案数也为 F(x)
对于石子堆i的方案数，枚举总操作次数x，设此时方案数为 ans[i][x]
则显然当石子堆i操作x次时，0 < j < i 的石子堆 j 均操作x次，而i < j <= k 的石子堆均操作x-1
故 ans[i][x] = [0<j<i的堆操作x次后不为1] * [堆i操作x次恰好为1] * [i<j<=k的堆操作x-1次后不为1]
= F(x+1)^(i-1) * F(x) * F(x)^(k-i)
= F(x+1)^(i-1) * F(x)^(k-i+1)
现在研究一下上式 x 的取值范围
由于每个堆至多操作 w 次，则 [0<j<i的堆操作x次后不为1] 的 x ∈[0 , w-1]
[堆i操作x次恰好为1] 的 x ∈[0 , w]
[i<j<=k的堆操作x-1次后不为1] 的 x ∈[0 , w+1]
易得出结论 x ∈[0 , w-1]
但当 i = 1 时，0<j<i的堆 不存在，故其可以取到 x = w
所以分类讨论：
当 i = 1 时，ans[i][x] = F(x+1)^(i-1) * F(x)^(k-i+1) + F(w) , x ∈[0 , w-1]
当 i > 1 时，ans[i][x] = F(x+1)^(i-1) * F(x)^(k-i+1) , x ∈[0 , w-1]
研究如何求出 F(x)：
此时有两个限制条件
1. 对于每个质因子pi，在 x 次内取完
即ei个相同的数字分成x组，允许空组，根据挡板法，方案数为 Comb(ei+x-1, x-1)
根据乘法原理 总方案数 F'(x) = ∏ Comb(ei+x-1, x-1) [1<=i<=m]
但由于存在第二个限制，F(x) != F'(x)
2. 每一次至少存在一个质因子被取
则根据容斥原理
F(x) = 随意取的方案数 - 某一次什么都没有取的方案数
+ 某两次什么都没有取的方案数
- 某三次什么都没有取的方案数
+ ...
由于 x次中k次没有取的方案数 = Comb(x,k) * x-k次恰好取完的方案数 = Comb(x,k) *F(x-k)
则 F(x) = F'(x) - Comb(x,1) * F(x-1)
+ Comb(x,2) * F(x-2)
- Comb(x,3) * F(x-3)
+ ...
= Σ (-1)^i * C(x, i) * F(x-i) [0<=i<x]
将组合数打开优化：
F(x) = Σ (-1)^i * x! / i! / (x-i)! * F(x-i) [0<=i<x]
F(x)/x! = Σ (-1)^i/i! * F(x-i)/(x-i)! [0<=i<x]
可以看出是卷积，再考虑模数特殊，用 NTT 优化
对代码常数有一定要求
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 100005;
const int MOD = 985661441;
namespace NTT{
const int G = 3;
const int NUM = 20;
int wn[20];
int mul(int x, int y) {
return (LL)x*y%MOD;
}
int PowMod(int a, int b) {
int res = 1;
a %= MOD;
while (b) {
if (b&1) res = mul(res, a);
a = mul(a, a);
b >>= 1;
}
return res;
}
void GetWn() {
for (int i = 0; i < NUM; i++)
{
int t = 1<<i;
wn[i] = PowMod(G, (MOD-1)/t);
}
}
void Change(int a[], int len)
{
int i, j, k;
for (i = 1, j = len/2; i < len-1; i++)
{
if (i < j) swap(a[i], a[j]);
k = len/2;
while (j >= k) {
j -= k;
k /= 2;
}
if (j < k) j += k;
}
}
void NTT(int a[], int len, int on)
{
Change(a, len);
int id = 0;
for (int h = 2; h <= len; h <<= 1)
{
id++;
for (int j = 0; j < len; j += h)
{
int w = 1;
for (int k = j; k < j + h/2; k++)
{
int u = a[k] % MOD;
int t = mul(a[k+h/2], w);
a[k] = (u+t) % MOD;
a[k+h/2] = ((u-t)%MOD + MOD) % MOD;
w = mul(w, wn[id]);
}
}
}
if (on == -1) {
for (int i = 1; i < len/2; i++)
swap(a[i], a[len-i]);
int inv = PowMod(len, MOD-2);
for (int i = 0; i < len; i++)
a[i] = mul(a[i], inv);
}
}
}
int a[N<<3], b[N<<3];
namespace COMB{
int F[N<<1], Finv[N<<1], inv[N<<1];
void init() {
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i < N<<1; i++) {
inv[i] = (LL)(MOD - MOD/i) * inv[MOD%i] % MOD;
}
F[0] = Finv[0] = 1;
for (int i = 1; i < N<<1; i++) {
F[i] = (LL)F[i-1] * i % MOD;
Finv[i] = (LL)Finv[i-1] * inv[i] % MOD;
}
}
int comb(int n, int m) {
if (m < 0 || m > n) return 0;
return (LL)F[n] * Finv[n-m] % MOD * Finv[m] % MOD;
}
}
using namespace COMB;
int e[20], m, k, n, tt;
int g[N], ans[20];
int pa[2][N];
int main()
{
int i, x, len, tt = 0;
NTT::GetWn();
init();
while (~scanf("%d%d", &m, &k))
{
n = 0;
for (i = 1; i <= m; ++i)
{
scanf("%*d%d", &e[i]);
n += e[i];
}
++n;
for (x = 0; x < n; ++x)
{
g[x] = 1;
for (i = 1; i <= m; ++i)
g[x] = (LL)g[x] * comb(e[i]+x-1, x-1) % MOD;
}
for (i = 0; i < n; ++i)
{
a[i] = (i%2 ? MOD - Finv[i] : Finv[i]);
b[i] = (LL)g[i] * Finv[i] % MOD;
}
len = 1;
while (len < n*2) len <<= 1;
for (i = n; i < len; ++i) a[i] = b[i] = 0;
NTT::NTT(a, len, 1);
NTT::NTT(b, len, 1);
for (int i = 0; i < len; ++i) a[i] = NTT::mul(a[i], b[i]);
NTT::NTT(a, len, -1);
for (i = 0; i < n; ++i)
a[i] = (LL)a[i] * F[i] % MOD;
memset(ans, 0, sizeof(ans));
a[n] = 0;
int pre = 1, cur = 0;
for (x = 1; x < n; ++x)
{
pre ^= 1, cur ^= 1;
pa[cur][0] = 1;
for (i = 1; i <= k; ++i)
pa[cur][i] = (LL)pa[cur][i-1] * a[x] % MOD;
if (x > 1)
for (i = 1; i <= k; ++i)
ans[i] = (ans[i] + (LL)pa[cur][i-1] * pa[pre][k-i+1]) % MOD;
}
ans[1] += pa[cur][k];
if (ans[1] > MOD) ans[1] -= MOD;
printf("Case #%d:", ++tt);
for (i = 1; i <= k; ++i) printf(" %d", ans[i]);
puts("");
}
}
*修正了一下写错的部分