二叉树及存储结构

目录

• 一、二叉树的定义
• 二、特殊二叉树
  • 2.1 斜二叉树（Skewed Binary Tree）
  • 2.2 完美二叉树（Perfect Binary Tree）
  • 2.3 完全二叉树（Complete Binary Tree）
• 三、二叉树的几个重要性质
• 四、二叉树的抽象数据类型定义
  • 4.1 常用的遍历方法
• 五、二叉树的存储结构
  • 5.1 顺序存储结构
  • 5.2 链表存储

一、二叉树的定义

二叉树T：一个有穷的结点集合。

• 这个集合可以为空
• 若不为空，则它是由根节点和称为其左子树(T_L)和右子树(T_R)的两个不相交的二叉树组成。

二叉树具体五种基本形态

二叉树的子树有左右顺序之分

二、特殊二叉树

2.1 斜二叉树（Skewed Binary Tree）

斜二叉树如下图所示：

2.2 完美二叉树（Perfect Binary Tree）

完美二叉树也称作满二叉树（Full Binary Tree）

完美二叉树如下图所示：

2.3 完全二叉树（Complete Binary Tree）

有n个结点的二叉树，对树中结点按从上至下、从左到右顺序进行编号，编号为(i(1leq{i}leq{n}))结点与满二叉树中编号为i结点在二叉树位置相同。

完全二叉树如下图所示：

如下图所示的二叉树即不为完全二叉树：

三、二叉树的几个重要性质

• 一个二叉树第i层的最大结点树为：(2^{i-1}, quad{i}geq1)

• 深度为k的二叉树有最大结点总数为：(2^k -1, quad kgeq{1})

• 对任何非空二叉树T，若(n_0)表示叶节点的个数、(n_2)是度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系(n_0=n_2+1)

四、二叉树的抽象数据类型定义

类型名称：二叉树

数据对象集：一个有穷的结点集合。若不为空，则由根节点和其左、右二叉子树组成。

操作集：(BTin{BinTree},quad Item in ElementType)，其重要操作有：

1. BooleanIsEmpty(BinTree BT)：判断BT是否为空；
2. void Traversal(BinTree BT)：遍历，按某顺序访问每个结点；
3. BinTree CreateBinTree()：创建一个二叉树。

4.1 常用的遍历方法

接下来介绍几个常用的遍历方法，未来会详细讲解。

void PreOrderTraversal(BinTree BT)：先序 --》根、左子树、右子树；

void InOrderTraversal(BinTree BT)：中序 --》左子树、根、右子树；

void PostOrderTraversal(BinTree BT)：后序 --》左子树、右子树、根；

void LevelOrderTraversal(BinTree BT)：层次遍历，从上到下、从左到右

五、二叉树的存储结构

5.1 顺序存储结构

完全二叉树：按从上至下、从左到右顺序存储，n个结点的完全二叉树的结点父子关系

• 非根节点（序号i>1）的父结点的序号是([i/2])；
• 结点（序号为i）的左孩子结点的序号是2i（若(2ileq{n})，否则没有左孩子）；
• 结点（序号为i）的右孩子结点的序号是2i+1（若(2i+1leq{n})，否则没有右孩子）

一般二叉树也可以采用这种结构，但会造成空间浪费……

5.2 链表存储

/* c语言实现 */

typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
struct TreeNode{
  ElementType Data;
  BinTree Left;
  BinTree Right;
}

# python语言实现

class TreeNode:
     def __init__(self, x):
         self.val = x
         self.left = None
         self.right = None

单个子节点用下图所示链表表示：

使用链表对整棵树的表示如下：