B-概率论-常见的概率分布模型

目录

• 常见的概率分布模型
• 一、离散概率分布函数
• 二、连续概率分布函数
• 三、联合分布函数
• 四、多项分布（Multinomial Distribution）
  • 4.1 多项分布简介
  • 4.2 多项分布公式解析
• 五、伯努利分布（Bernoulli Distribution）
  • 5.1 伯努利分布简介
  • 5.2 伯努利分布的期望值和方差
• 六、正态(高斯)分布（Normal(Gaussian) Distribution）
  • 6.1 正态分布的概率密度函数图像
  • 6.2 正态分布简介
  • 6.3 中心极限定理与正态分布
• 七、泊松分布（Poisson Distribution）
  • 7.1 泊松分布的概率质量函数图像
• 八、二项分布（Binomial Distributio）
  • 8.1 二项分布的概率质量函数图像
  • 8.2 二项分布简介
  • 8.3 二项分布与伯努利分布
• 九、贝塔分布（Beta Distribution）
  • 9.1 贝塔分布的概率密度函数图像
• 十、几何分布(负二项分布)（Geometric Distribution）
  • 10.1 几何分布概率质量函数图像
• 十一、狄利克雷分布(多项分布的共轭分布)（Dirichlet distribution）
• 十二、超几何分布（Hypergeometric Distribution）
• 十三、指数分布（Exponential Distribution）
  • 13.1 指数分布概率密度函数图像

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常见的概率分布模型

一、离散概率分布函数

离散概率分布也称为概率质量函数（probability mass function），离散概率分布的例子有

伯努利分布（Bernoulli distribution）

二项分布（binomial distribution）

泊松分布（Poisson distribution）

几何分布（geometric distribution）等

二、连续概率分布函数

连续概率分布也称为概率密度函数（probability density function），它们是具有连续取值（例如一条实线上的值）的函数，连续概率分布的例子有

正态分布（normal distribution）

指数分布（exponential distribution）

β分布（beta distribution）等

三、联合分布函数

给定一个随机变量((X,Y))，称定义域为整个平面的二元实值函数

[F(x,y) = P(Xleq{x},Yleq{y}) quad -inftygeq{x,y}leqinfty ]

该二元实值函数为随机变量((X,Y))的分布函数，也可以称为是((X,Y))的联合分布函数。

按照联合分布函数的定义，(F(x,y)=P((X,Y)in{D_{xy}}))，其中(D_{xy})如下图所示

四、多项分布（Multinomial Distribution）

4.1 多项分布简介

多项分布是二项分布的推广，他们的区别是二项分布的结果只有(0)和(1)两种，多项式的结果可以有多个值。

多项分布的典型例子是掷骰子，6个点对应6个不同的数，每个点的概率都为({frac{1}{6}})

与二项分布类似，多项分布来自于((p_1+p_2+cdots+p_k)^n多项式的展开)

4.2 多项分布公式解析

以掷骰子为例，掷骰子的时候掷(1-6)的概率都为({frac{1}{6}})，记作(p_1-p_6)，可以发现(p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6=1)，现在把(p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6)记作做一次抽样各种事件发生的概率和，即可得((p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6)^n=1^n)为(n)次抽样所有事件相互组合对应的概率和，之后使用多项式展开(注：使用多项式定理展开，由于多项式定理不在本节提及范围内，不多赘述)，如果它不是掷骰子，而是一个有(n)种可能的问题，会得到一个多项式展开的公式

[P(X_1 = x_1,ldots,X_k = x_k) = egin{cases} {frac{n!}{x_1!cdots{x_k!}}}(p^{x_1}cdots{p^{x_k})} quad whensum_{i=1}^kx_i=n\ 0 quad otherwise \ end{cases} ]

这个多项式表示(X_1)出现(x_1)次，(X_2)出现(x_2)次，(ldots)，(X_k)出现(x_k)次的出现概率，这样就得到了上述所示的多项分布的多项展开式公式。

五、伯努利分布（Bernoulli Distribution）

5.1 伯努利分布简介

伯努利分布是一个二值离散分布，结果只有(0)和(1)两种。

随即变量(X)为(1)的概率为(p)，则为(0)的概率为(q=1-p)，可以用公式表示为

[f(x) = p^x(1-p)^{1-x} = egin{cases} p, quadquad x=1 \ 1-p, quad x=0 \ end{cases} ]

5.2 伯努利分布的期望值和方差

伯努利分布的期望值为

[egin{align} E(X) & = sum_{i=0}^1x_if(x) \ & = 1*p+0*(1-p) \ & = p+0 \ & = p \ end{align} ]

伯努利分布的方差为

[egin{align} D(x) & = sum_{i=0}^1(x_i - E(x))^2f(x) \ & = (1-E(x))^2*p + (0-E(x)^2*(1-p) \ & = (1-p)^2*p + (0-p)^2*(1-p) \ & = p - p^2 \ & = p(1-p) \ & = pq end{align} ]

六、正态(高斯)分布（Normal(Gaussian) Distribution）

6.1 正态分布的概率密度函数图像

其中红线表示的是标准正态分布图像。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
%matplotlib inline

mu1 = 0
sig1 = 1
mu2 = 0
sig2 = 2

x = np.arange(-5, 5, 0.1)
y1 = stats.norm.pdf(x, mu1, sig1)
y2 = stats.norm.pdf(x, mu2, sig2)
plt.plot(x, y1, 'r-', label='$mu=0,sigma^2=1$')
plt.plot(x, y2, 'b-', label='$mu=0,sigma^2=2$')
plt.legend()
plt.show()

6.2 正态分布简介

正态分布也称作高斯分布，是最常见的一种分布，其概率密度函数为

[f(x;mu,sigma) = {frac {1} {sqrt{2pisigma^2}} } e^{(-{frac {(x - mu)^2} {2sigma^2}})} ]

如果一个随即变量(X)服从该分布，可以写作(X ~ { N(mu ,sigma ^{2})} N(mu, sigma^2))。

当(mu=0,sigma=1)时的正态分布称作标准正态分布，这个分布能简化为

[f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}} \, expleft(-frac{x^2}{2} ight) ]

标准正态分布曲线区间面积计算

[f(|x-mu|<sigma) = 0.6826 \ f(|x-mu|<2sigma) = 0.9544 \ f(|x-mu|<3sigma) = 0.9974 \ ]

6.3 中心极限定理与正态分布

1. 中心极限定理1：把许多未知的小作用加起来看作一个变量，这个变量服从正态分布
2. 中心极限定理2：“大量统计独立的随即变量的和”的分布趋于正态分布

七、泊松分布（Poisson Distribution）

7.1 泊松分布的概率质量函数图像

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
%matplotlib inline

lambd = 2.5

x = np.arange(0, 10)
y = stats.poisson.pmf(x, lambd)
plt.plot(x, y, label='$lambda=2.5$')
plt.legend()
plt.show()

八、二项分布（Binomial Distributio）

8.1 二项分布的概率质量函数图像

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
%matplotlib inline

n = 8
p = 0.4

x = np.arange(0, 20)
y = stats.binom.pmf(x, n, p)
plt.plot(x, y, 'o-', label='$n=8,p=0.4$')
plt.legend()
plt.show()

8.2 二项分布简介

二项分布是(n)次独立的二值实验(伯努利实验)中成功的次数的离散值概率分布((n)次伯努利实验，一次伯努利实验得到一个伯努利分布)。

随机变量(X)服从参数(n)和(p)的二项分布记作：(B(n,p))。(n)次实验中(k)次成功的概率质量函数为

[f(k;n,p) = C_n^kp^k(1-p)^{n-k} ]

其中(C_n^k)是二项式系数：(C_n^k = {frac{n!}{k!(n-k)!}})

二项分布来源于牛顿二项式

[(a+b)^n = sum_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k} ]

8.3 二项分布与伯努利分布

1. 二项分布的期望是伯努利分布期望的(n)倍

[E(x) = np ]

2. 二项分布的方差是伯努利分布方差的(n)倍

[D(x) = np(1-p) ]

九、贝塔分布（Beta Distribution）

9.1 贝塔分布的概率密度函数图像

from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
%matplotlib inline

a = 0.4
b = 0.6

x = np.arange(0.01, 1, 0.01)
y = stats.beta.pdf(x, a, b)
plt.plot(x, y, label='a=0.4,b=0.6')
plt.show()

十、几何分布(负二项分布)（Geometric Distribution）

10.1 几何分布概率质量函数图像

十一、狄利克雷分布(多项分布的共轭分布)（Dirichlet distribution）

十二、超几何分布（Hypergeometric Distribution）

十三、指数分布（Exponential Distribution）

13.1 指数分布概率密度函数图像

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
%matplotlib inline

lambd = 0.6

x = np.arange(0, 10, 0.1)
y = lambd * np.exp(-lambd*x)
plt.plot(x, y, label='$lambda=0.6$')
plt.legend()
plt.show()