A-07 前向分步算法

目录

• 前向分步算法
• 一、前向分步算法引入
• 二、前向分步算法详解
  • 2.1 加法模型
  • 2.2 加法模型目标函数优化问题
• 三、前向分步算法流程
  • 3.1 输入
  • 3.2 输出
  • 3.3 流程

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前向分步算法

一、前向分步算法引入

假设Nick的年龄是25岁。

1. 第1棵决策树

把Nick的年龄设置成初始值0岁去学习，如果第1棵决策树预测Nick的年龄是12岁，即残差值为(25-12=13)
2. 第2课决策树
1. 把Nick的年龄设置成残差值13岁去学习，如果第2棵决策树能把Nick分到13岁的叶子节点，累加两棵决策树的预测值加和(12+13=25)，就是Nick的真实年龄25岁
2. 如果第2棵决策树的得到的是10岁，残差值为(25-12-10=3)
3. 第3课决策树

把Nick的年龄设置成残差值3岁去学习……
4. 继续重复上述过程学习，不断逼近Nick的真实年龄

二、前向分步算法详解

2.1 加法模型

加法模型(additive model)一般表示为弱学习器加和

[f(x) = sum_{t=1}^T heta_tb(x;gamma_t) ]

其中(b(x;gamma_t))为弱学习器，(gamma_t)为弱学习器的参数，( heta_t)为弱学习器的系数。

2.2 加法模型目标函数优化问题

给定训练数据以及目标函数(L(y,f(x)))，加法模型的经验风险最小化问题既可以变为目标函数最小化问题

[underbrace{min}_{ heta_t,gamma_t}sum_{i=1}^mL(y_i,sum_{t=1}^T heta_tb(x_i;gamma_t)) ]

上述加法模型的目标函数优化问题是一个很复杂的优化问题，但是通过前向分布算法(forward stagewise algorithm)可以解决这一问题，它的思想是：因为学习问题是加法模型，所以每一步只学习一个弱学习器及其系数，然后逐步逼近优化目标函数，也就是说，每一步只需要优化如下所示的目标函数

[underbrace{min}_{ heta,gamma}sum_{i=1}^mL(y_i, heta{b(x_i;gamma)}) ]

三、前向分步算法流程

3.1 输入

有(m)个数据(n)个特征的训练数据集(T={(x_1,y_1),(x_2,y_2),cdots,(x_m,y_m)})；目标函数(L(y,f(x)))；弱学习模型集({b(x;gamma_t)},quad(t=1,2,cdots,T))，在Boosting算法中(T)相当于弱学习器的个数。

3.2 输出

加法模型(f(x))。

3.3 流程

1. 初始化(f_0(x)=0)
2. 对(t=1,2,cdots,T)
   1. 极小化目标函数
   [( heta_t,gamma_t)=underbrace{arg\,min}_{ heta,gamma}sum_{i=1}^mL(y_i,f_{t-1}(x_i)+ heta{b(x_i;gamma)}) ]
   得到参数( heta_t,gamma_t)
   2. 更新
   [f_t(x)=f_{t-1}(x)+ heta_tb(x;gamma_t) ]

3. 得到加法模型

[f(x)=f_T(x)=sum_{t=1}^T heta_tb(x;gamma_t) ]