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前向分步算法
一、前向分步算法引入
假设Nick的年龄是25岁。
- 第1棵决策树
把Nick的年龄设置成初始值0岁去学习，如果第1棵决策树预测Nick的年龄是12岁，即残差值为(25-12=13)
2. 第2课决策树
1. 把Nick的年龄设置成残差值13岁去学习，如果第2棵决策树能把Nick分到13岁的叶子节点，累加两棵决策树的预测值加和(12+13=25)，就是Nick的真实年龄25岁
2. 如果第2棵决策树的得到的是10岁，残差值为(25-12-10=3)
3. 第3课决策树
把Nick的年龄设置成残差值3岁去学习……
4. 继续重复上述过程学习，不断逼近Nick的真实年龄
二、前向分步算法详解
2.1 加法模型
加法模型(additive model)一般表示为弱学习器加和
[f(x) = sum_{t=1}^T heta_tb(x;gamma_t)
]
其中(b(x;gamma_t))为弱学习器，(gamma_t)为弱学习器的参数，( heta_t)为弱学习器的系数。
2.2 加法模型目标函数优化问题
给定训练数据以及目标函数(L(y,f(x)))，加法模型的经验风险最小化问题既可以变为目标函数最小化问题
[underbrace{min}_{ heta_t,gamma_t}sum_{i=1}^mL(y_i,sum_{t=1}^T heta_tb(x_i;gamma_t))
]
上述加法模型的目标函数优化问题是一个很复杂的优化问题，但是通过前向分布算法(forward stagewise algorithm)可以解决这一问题，它的思想是：因为学习问题是加法模型，所以每一步只学习一个弱学习器及其系数，然后逐步逼近优化目标函数，也就是说，每一步只需要优化如下所示的目标函数
[underbrace{min}_{ heta,gamma}sum_{i=1}^mL(y_i, heta{b(x_i;gamma)})
]
三、前向分步算法流程
3.1 输入
有(m)个数据(n)个特征的训练数据集(T={(x_1,y_1),(x_2,y_2),cdots,(x_m,y_m)})；目标函数(L(y,f(x)))；弱学习模型集({b(x;gamma_t)},quad(t=1,2,cdots,T))，在Boosting算法中(T)相当于弱学习器的个数。
3.2 输出
加法模型(f(x))。
3.3 流程
- 初始化(f_0(x)=0)
- 对(t=1,2,cdots,T)
- 极小化目标函数
[( heta_t,gamma_t)=underbrace{arg\,min}_{ heta,gamma}sum_{i=1}^mL(y_i,f_{t-1}(x_i)+ heta{b(x_i;gamma)}) ]得到参数( heta_t,gamma_t)
2. 更新[f_t(x)=f_{t-1}(x)+ heta_tb(x;gamma_t) ] - 得到加法模型
[f(x)=f_T(x)=sum_{t=1}^T heta_tb(x;gamma_t)
]