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  • B-概率论-贝叶斯决策


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    贝叶斯决策

    一、贝叶斯决策理论

    贝叶斯决策理论:在不完全情报下,对部分未知的状态用主观概率估计。

    二、贝叶斯公式

    2.1 从条件概率公式推导贝叶斯公式

    若果(A)(B)相互独立,则有(p(A,B) = p(A)p(B)),并有条件概率公式

    [p(A|B) = {frac{p(A,B)}{p(B)}} \ p(B|A) = {frac{p(A,B)}{p(A)}} \ ]

    通过条件概率可得

    [p(A,B) = p(B|A)p(A) \ p(A|B) = {frac{p(B|A)p(A)}{p(B)}} quad ext{简写的贝叶斯公式} ]

    (p(A|B)):后验概率,B发生的情况下发生A的概率,需要计算的概率

    (p(B|A)):似然度,A假设条件成立的情况发生B的概率

    (p(A)):A的先验概率,也可以理解成一般情况下A发生的概率

    (p(B)):标准化常量,也可以理解成一般情况下B发生的概率

    2.2 从全概率公式推导贝叶斯公式

    全概率公式

    [p(B) = sum_{i=1}^n{p(B|A=A_i)p(A_i)} quad ext{其中}sum_{i=1}^n{p(A_i)=1} ]

    通过全概率公式可得

    [p(A|B) = {frac{p(B|A)p(A)}{sum_{i=1}^n{p(B|A=A_i)p(A_i)}}} quad ext{完整的贝叶斯公式} ]

    三、贝叶斯公式应用

    在数字通信中,由于随机干扰,因此接受的信号与发出的信号可能不同,为了确定发出的信号,通常需要计算各种概率。

    如果发报机以0.6和0.4的概率发出信号0和1;

    当发出信号0时,以0.7和0.2的概率收到信号0和1;

    当发出信号1时,接收机以0.8和0.2收到信号1和0。

    计算当接受机收到信号0时,发报机发出信号0的概率。

    通过上述给出的数据可以得到以下推导

    (p(A_0) = 0.6):发报机发出信号0的概率

    (p(A_1) = 0.4):发报机发出信号1的概率

    (p(B)=p(A_0)p(B|A_0) + p(A_1)p(B|A_1)):发报机接收到信号0的概率

    (p(B|A_0) = 0.7):发报机发出信号0接收到信号0的概率

    (p(B|A_1) = 0.2):发报机发出信号1接收到信号0的概率

    [egin{align} p(A_0|B) & = {frac{p(B|A_0)p(A_0)}{p(A_0)p(B|A_0) + p(A_1)p(B|A_1)}} \ & ={frac{0.6*0.7}{0.6*0.7 + 0.4*0.2}} \ & ={frac{0.42}{0.50}} \ & =0.84 end{align} ]

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/nickchen121/p/11686765.html
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