我们以一道题为例来介绍卡特兰数：
题目链接：满足条件的01序列
给定n个0和n个1，它们将按照某种顺序排成长度为2n的序列，求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中0的个数都不少于1的个数的序列有多少个。
输出的答案对109+7取模。
为了便于解决，我们可以把这个问题转化成：
给定一个n*n的矩阵，每一步只能往右走或者往上走，求从左下角顶点走到右上角顶点所有方案中，往右走的步数不少于往上走的步数的方案的数量，并且对109+7取模。
我们再将目标进行一步转化：
合法路径数 = 总路径数 - 非法路径数
其中总路径数显然为组合数C126，故接下去只需求非法路径数即可。
我们举n=6的实例来看：
如下图：
从(0,0)走到(6,6)的路径所有路径就是总路径。
显然，所有黑线以下的路径皆为合法路径，如图中绿线所示路径就是一条合法路径。
而任何一条经过红线的路径一定是非法路径，如图中蓝线所示路径。
那么我们将该非法路径第一次经过红线后的部分关于红线作对称，如图中黄线所示。
不难发现，任何一条非法路径进行如上的对称操作后终点一定是(5,7)。
进而又可以发现，从(0,0)到(5,7)的任何一条路径进行如上对称操作后一定是一条非法路径。
故从(0,0)到(5,7)的路径与非法路径构成双射。
那么显然，非法路径数即是组合数C125。
所以合法路径数就是C126 - C125。
而我们又可以发现，C2nn - C2nn-1 = C2nn/(n+1)。
这就是卡特兰数。
而上述该题正是卡特兰数的一个应用。
卡特兰数：
以下内容参考百度百科：卡特兰数
卡特兰数又称卡塔兰数，卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。
原理：
设h(n)为catalan数的第n项，令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)
卡特兰数的常见应用：
一、出栈次序
一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
二、括号化
矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
三、凸多边形三角划分
在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f(n)。比如当n=6时，f(6)=14。
给定N个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树？（能构成h(n)个）
给定n对括号，求括号正确配对的字符串数。