基本算法——康托展开与逆康托展开

含义

　　康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

原理

　　X = s₁(n-1)! + s₂(n-2)! + s₃(n-3)! + …… + s_n-1 * 1! + s_n * 0! 

　　其中s_i表示在第i位右边比a_i小的数的个数。

　　我们现在用s_l表示第i位左边比a_i小的数的个数，s_r表示第i位右边比a_i小的数的个数，显然可以得到如下等式：
　　a_i = s_l + s_r + 1

　　故公式中的si可以用上述等式计算：s_r = a_i - s_l -1

　　依照上述原理，则{1,2,3,4,5}的一种全排列{3,4,1,5,2}可以映射为{2,2,0,1,0}

　　根据公式，该集合实际上表示的就是一个变进制数。

　　简便计算：X = ((s₁ * (n-1) + s₂) * (n-3) + s₃) * (n-3) + …… 

康托展开

　　暴力  O(n²):

　　为了便于讲解下面的线段树优化，此处选择维护vis数组的方式（当然直接比大小也是一样的）。

　　vis[j]用以记录j是否已出现，未出现为0，已出现为1。故a[i]左边比其小的数的个数就是vis[j]的和(j<a[i])。

　　计算ans时，由于最后一位固定是0，故只需计算到n-1位即可。

　　而所有全排列中比该序列小的有ans个，故该序列排在第ans+1位。

　　代码如下：

int Power_Cantor()
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        int sum=0;
        for(int j=1;j<=a[i];j++)sum+=vis[j];
        vis[a[i]]=1;
        a[i]-=sum+1;
        ans=(ans+a[i])*(n-i);
    }
    return ans+1;
}

　　线段树优化  O(nlogn)：

　　我们用线段树结构存储vis数组，即可实现logn时间复杂度内求出结果。

　　代码如下：

int Cantor()
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int now=a[i];
        now-=query(1,1,n,1,a[i])+1;
        update(1,1,n,a[i],1);
        ans=(ans+now)*(n-i);
    }
    return ans+1;
}

逆康托展开

　　首先是将所给的排列位数转变为我们所需的变进制数：

　　仍以{3,4,1,5,2}为例，其康托展开值为61：

　　用 61 / 4! = 2余13，则a[1] = 2，即首位右边比首位小的数有2个，所以首位为3。

　　用 13 / 3! = 2余1，则a[2] = 2，即在第二位之后小于第二位的数有2个，所以第二位为4。

　　用 1 / 2! = 0余1，则a[3] = 0，即在第三位之后没有小于第三位的数，所以第三位为1。

　　用 1 / 1! = 1余0，则a[4] = 1，即在第四位之后小于第四位的数有1个，所以第四位为5。

　　最后一位自然就是剩下的数2。

　　通过以上分析，所求排列组合为 34152。

　　依然是用线段树维护vis数组，建树时每一位都先赋值为1，表示所有数均未出现。

　　设对于当前这一位i，变进制数为a[i]，要求的数为x。目标是要在未出现的数中找比x小的数的个数为a[i]个的数的位置，相当于在区间[1，x]中找a[i]+1。

　　此处将a[i]+1记为s[i]。用二分查找x的位置：对于每一位s[i]，先求出左子树比x小的数的个数为sum，再看s是否有s[i]个：若有，说明结果在左子树，则继续往左子树找s[i]；若没有，则往右子树找s[i] - sum。

　　查找完后将vis[x]的值修改为0。

　　代码如下：

int search(int num)
{
    int l=1,r=n;
    while(l<r)
    {
        int mid=l+r>>1;
        int find=query(1,1,n,l,mid);
        
        if(find>=num) r=mid;
        else{
            l=mid+1;
            num-=find;
        }
    }
    return r;
}

void R_Cantor(int num)
{
    num--;  
    memset(a,0,sizeof a);
    build_tree(1,1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=num/(jc[n-i]);
        a[i]=search(a[i]+1);
        update(1,1,n,a[i],0);
        num%=jc[n-i];
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",a[i]);
    puts("");    
}

附完整代码

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;

int n;
int a[N],tree[3*N];
int jc[10]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; 

void out()
{
    for(int i=1;i<=14;i++)
    {
        printf("tree[%d] = %d
",i,tree[i]);
    }
    puts("");
}

void build_tree(int node,int start,int end)
{
    if(start==end)
    {
        tree[node]=1;
        return;
    }
    int mid=start+end>>1;
    int left=2*node;
    int right=2*node+1;
    build_tree(left,start,mid);
    build_tree(right,mid+1,end);
    tree[node]=tree[left]+tree[right];
}

void update(int node,int start,int end,int idx,int val)
{
    if(start==end)
    {
        tree[node]=val;
        return;
    }
    int mid=start+end>>1;
    int left=2*node;
    int right=2*node+1;
    if(idx<=mid)update(left,start,mid,idx,val);
    else update(right,mid+1,end,idx,val);
    tree[node]=tree[left]+tree[right];
}

int query(int node,int start,int end,int l,int r)
{
    if(end<l || start>r)return 0;
    else if(start>=l && end<=r)return tree[node];
    
    int mid=start+end>>1;
    int left=2*node;
    int right=2*node+1;
    
    return query(left,start,mid,l,r) + query(right,mid+1,end,l,r);
}

int Cantor()
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int now=a[i];
        now-=query(1,1,n,1,a[i])+1;
        update(1,1,n,a[i],1);
        ans=(ans+now)*(n-i);
    }
    return ans+1;  //所有全排列中比该序列小的有ans个，故该序列排在第ans+1位 
}

int search(int num)
{
    int l=1,r=n;
    while(l<r)
    {
        int mid=l+r>>1;
        int find=query(1,1,n,l,mid);
        
        // 先看左子树中未出现的比要求的数小的数的个数够不够num个 
        // 若足够，则继续往左子树找num 
        // 若不够，则继续往右子树找 (num-已找到的个数) 
        
        if(find>=num) r=mid;
        else{
            l=mid+1;
            num-=find;
        }
    }
    return r;
}

void R_Cantor(int num)
{
    num--; //该序列排在第num位，故比其小的全排列有num-1个。 
    memset(a,0,sizeof a);
    build_tree(1,1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=num/(jc[n-i]);
        a[i]=search(a[i]+1);
        update(1,1,n,a[i],0);
        num%=jc[n-i];
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",a[i]);
    puts("");    
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    
    memset(tree,0,sizeof tree);
    
    int ans=Cantor();
    
//    R_Cantor(62);

    printf("%d
",ans);
    return 0;
}