题解——Acwing.340 通信线路

问题抽象：

　　给定一张无向图，求出一条1~n的路径，使得路径中第k+1大的边权最小化。

算法描述：

　　二分答案。
　　对于二分的值mid，定义在所有1~n的路径中，满足权值大于mid的边的数量小于等于k者为合法路径。
　　当mid越大时，权值大于mid的边的数量必然非严格单调递减，故而合法路径的数量必然也非严格单调递减。
　　故而该问题满足如上单调性，二分答案的可行性成立。
　　因此，可将问题转化为判定：
　　对于给定的mid，是否存在一条路径，使该路径上的权值大于mid的边的数量小于等于k。
　　这个问题就非常好做了。只需把权值大于mid的边的权值视为1，其余边权值视为0，然后求解01最短路即可，复杂度是线性的。
　　最终整个算法的时间复杂度为O((N+M)logMAX_L)

参考代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=1e3+10,M=1e4+10;
struct Edge{
    int to,ne,w;
}edge[M<<1]; int idx;
int n,m,k;
int h[N];
int dis[N],vis[N];

void add_edge(int u,int v,int w){edge[++idx]={v,h[u],w};h[u]=idx;}

bool check(int mid)
{
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    memset(vis,0,sizeof vis);
    deque<int> q;
    
    dis[1]=0;
    q.push_front(1);
    
    while(!q.empty())
    {
        int p=q.front();
        q.pop_front();
        
        if(vis[p])continue;
        vis[p]=1;
        
        for(int i=h[p];~i;i=edge[i].ne)
        {
            int to=edge[i].to,w=edge[i].w>mid;
            if(dis[to]>dis[p]+w)
            {
                dis[to]=dis[p]+w;
                if(w)q.push_back(to);
                else q.push_front(to);
            }
        }
    }
    
    return dis[n]<=k;
}

int main()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add_edge(u,v,w);
        add_edge(v,u,w);
    }
    
    int l=0,r=1e6+1;
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid))r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    
    if(r==1e6+1)puts("-1");
    else printf("%d
",r);
    
    return 0;
}