排序算法

一、排序算法介绍

排序也称排序算法(Sort Algorithm),排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程。

排序的分类:

●内部排序:
➢指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器中进行排序。

●外部排序法:
➢数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储进行排序。

二、算法的时间复杂度

度量一个程序执行时间的两种方法

事后统计的方法

●这种方法可行,但是有两个问题:一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序;二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素,这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。

事前估算的方法

●通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优

三、算法的时间复杂度

1.时间频度

基本介绍

●时间频度:一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

使用说明

➢忽略常数项
➢忽略低次项

2.时间复杂度

●一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用【T(n)】表示，若有某个辅助函数【f(n)】，使得当n趋近于无穷大时，【T(n) / f(n)】的极限值为不等于零的常数，则称【f(n)】是【T(n)】的同数量级函数。记作【T(n)=O(f(n)】,称【O(f(n))】为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

●【T(n)】不同，但时间复杂度可能相同。如: 【T(n)=n2+7n+6】 与 【T(n)=3n2+2n+2】它们的【T(n)】不同，但时间复杂度相同，都为【O(n2)】。

●计算时间复杂度的方法:

➢用常数1代替运行时间中的所有加法常数
➢修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
➢去除最高阶项的系数

3.常见的时间复杂度

➢常数阶O(1)
➢对数阶O(log2 n)
➢线性阶O(n)
➢线性对数阶O(nlog2n)
➢平方阶O(n^2)
➢立方阶O(n^3)
➢k次方阶O(n^k)
➢指数阶O(2^n)
➢阶乘阶O(n!)

4.平均时间复杂度和最坏时间复杂度

➢平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
➢最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
➢平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。

相关术语解释:

➢稳定:如果a原本在b前面，而a=b,排序之后a仍然在b的前面;
➢不稳定: 如果a原本在b的前面，而a=b,排序之后a可能会出现在b的后面;
➢内排序: 所有排序操作都在内存中完成;
➢外排序:由于数据太大，因此把数据放在磁盘中，而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行;
➢时间复杂度: 一个算法执行所耗费的时间。
➢空间复杂度:运行完一个程序所需内存的大小。
➢n:数据规模
➢k:"桶”的个数
➢In-place: 不占用额外内存
➢Out-place: 占用额外内存

四、算法的空间复杂度

●类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。

●空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况

●在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.

冒泡排序

冒泡排序介绍

●冒泡排序(Bubble Sorting) 的基本思想是:通过对待排序序列从前向后(从下标较小的元素开始),依次比较相邻元素的值，若发现逆序则交换，使值较大的元素逐渐从前移向后部，就象水底下的气泡一样逐渐向上冒。

●因为排序的过程中，各元素不断接近自己的位置，如果一趟比较下来没有进行过交换，就说明序列有序，因此要在排序过程中设置一个标志flag判断元素是否进行过交换。从而减少不必要的比较。

冒泡排序及优化

package com.xudong.DataStructures;

import java.text.SimpleDateFormat;
import java.util.Date;

public class BubbleSortDemo {
    public static void main(String[] args) {
        //int arr[] = {3,9,-1,10,-2};

        //创建80000个随机数的数组
        int[] arr = new int[80000];
        for (int i = 0; i < 80000; i++) {
            arr[i] = (int) (Math.random() * 8888888);//生成一个[0,8888888)的随机数
        }

        //测试时间
        Date date1 = new Date();
        SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
        String date1Str = simpleDateFormat.format(date1);
        System.out.println("排序前的时间是：" + date1Str);

        Bubblesort(arr);

        Date date2 = new Date();
        String date2Str = simpleDateFormat.format(date2);
        System.out.println("排序后的时间是：" + date2Str);
        //System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }

    public static void Bubblesort(int[] arr){
        //第一趟排序，就是将最大的数排在最后
        int temp = 0;
        boolean flag = false;//标识变量，表示是否进行过交换
        for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
            for (int j = 0; j < arr.length - 1; j++) {
                //如果前面的数比后面的数大，则交换
                if (arr[j] > arr[j + 1]){
                    flag = true;
                    temp = arr[j];
                    arr[j] = arr[j + 1];
                    arr[j + 1] = temp;
                }
            }
//            System.out.println("第" + (i + 1) +"趟排序后的数组：");
//            System.out.println(Arrays.toString(arr));
            //算法优化
            if (!flag){//在一趟排序中，一次交换都没有发生过
                break;
            }else {
                flag = false;//重置flag，进行下次判断
            }
        }
    }
}

选择排序

1.基本介绍

●选择式排序也属于内部排序法，是从欲排序的数据中，按指定的规财选出某一元素，再依规定交换位置后达到排序的目的。
选择排序要比冒泡排序快。

2.选择排序思想:

●选择排序(select sorting) 也是一种简单的排序方法。它的基本思想是:第一次从arr[0] ~ arr[n-1]中选取最小值，与arr[0]交换， 第二次从arr[1] ~ arr[n-1]中选取最小值，与arr[1]交换， 第三次从arr[2] ~ arr[n-1]中选取最小值，与arr[2]交换，...，第i次从arr[i-1] ~ arr[n-1]中选取最小值，与arr[i-1]交换，... ，第n-1次从arr[n-2] ~ arr[n-1]中选取最小值，与arr[n-2]交换，总共通过n-1次，得到一个按排序码从小到大排列的有序序列。

package com.xudong.DataStructures;

import java.util.Arrays;

public class SelectSortDemo {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {101,34,119,1};
        selectSort(arr);
    }

    public static void selectSort(int[] arr){
        for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
            int minIndex = i;
            int min = arr[i];
            for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
                if (min > arr[j]){//假定的最小值并不是最小。升序降序改这里符号
                    min = arr[j];//重置min
                    minIndex = j;//重置minIndex
                }
            }
            //将最小值放在arr[i],即交换
            if (minIndex != i){//优化
                arr[minIndex] = arr[i];
                arr[i] = min;
            }
            System.out.println("第" + (i + 1) + "轮后：");
            System.out.println(Arrays.toString(arr));
        }
    }
}

插入排序

●插入式排序属于内部排序法，是对于欲排序的元素以插入的方式找寻该元素的适当位置，以达到排序的目的。
插入排序效率稍比选择排序低

插入排序法思想:

●插入排序(Insertion Sorting)的基本思想是:把n个待排序的元素看成为一个有序表和一个无序表，开始时有序表中只包含一个元素，无序表中包含有n-1个元素，排序过程中每次从无序表中取出第一个元素，把它的排序码依次与有序表元素的排序码进行比较，将它插入到有序表中的适当位置，使之成为新的有序表。

package com.xudong.DataStructures;

import java.util.Arrays;

public class InsertSortDemo {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {101,34,119,1,-1,89};
        intsertSort(arr);
    }

    public static void intsertSort(int[] arr){
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            //定义待插入的数
            int insertVal = arr[i];
            int insertIndex = i - 1;//即arr[i]前面这个数的下标

            while (insertIndex >= 0 && insertVal < arr[insertIndex]){//升序降序改这里符号
                arr[insertIndex + 1] = arr[insertIndex];
                insertIndex--;
            }
            if (insertIndex + 1 != i){
                //当退出while循环时，说明插入的位置找到，insertIndex + 1
                arr[insertIndex + 1] = insertVal;
            }

            System.out.println("第" + i + "轮插入：");
            System.out.println(Arrays.toString(arr));

        }
    }
}

希尔排序

●希尔排序是希尔(Donald Shell)于1959年提出的一种排序算法。希尔排序也是一种插入排序，它是简单插入排序经过改进之后的一个更高效的版本，也称为缩小增量排序。

希尔排序法基本思想

●希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序;随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法便终止

package com.xudong.DataStructures;

import java.util.Arrays;

public class ShellSortDemo {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {8,9,1,7,2,3,5,4,6,0};
        shellSort2(arr);
    }

    //插入时采用交换法，效率慢，与冒泡差不多
    public static void shellSort(int[] arr){
        int temp;
        int count = 0;
        for (int gap = arr.length / 2; gap > 0; gap /= 2) {
            for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
                //遍历各组中所有的元素。共gap组，步长gap
                for (int j = i - gap; j >= 0 ; j -= gap) {
                    //如果当前元素大于加上步长后的那个元素，说明交换
                    if (arr[j] > arr[j + gap]){
                        temp = arr[j];
                        arr[j] = arr[j + gap];
                        arr[j + gap] = temp;
                    }
                }
            }
            System.out.println("希尔排序第" + (++count) + "轮=" + Arrays.toString(arr));
        }
    }

    //插入时采用移位法：效率比插入排序高
    public static void shellSort2(int[] arr){
        int temp;
        int count = 0;
        //增量gap，并逐步缩小增量
        for (int gap = arr.length / 2; gap > 0; gap /= 2){
            //从第gap个元素，逐个对其所在的组进行直接插入排序
            for (int i = gap; i < arr.length; i++) {
                int j = i;
                temp = arr[j];
                if (arr[j] < arr[j - gap]){
                    while (j - gap >= 0 && temp < arr[j - gap]){
                        //移动
                        arr[j] = arr[j - gap];
                        j -= gap;
                    }
                    //当退出while后，temp就找到了插入的位置
                    arr[j] = temp;
                }
            }
            System.out.println("希尔排序第" + (++count) + "轮=" + Arrays.toString(arr));
        }
    }
}

快速排序

●快速排序(Quicksort)是对冒泡排序的一种改进。
快速排序稍比希尔排序快。

快速排序法基本思想

基本思想是:通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列.

package com.xudong.DataStructures;

import java.util.Arrays;

public class QuickSortDemo {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {-9,78,0,23,-567,70};
        quickSort(arr,0,arr.length - 1);
        System.out.println("arr = " + Arrays.toString(arr));
    }

    public static void quickSort(int[] arr,int left,int right){
        int l = left;//左下标
        int r = right;//右下标
        int pivot = arr[(left + right) / 2];//pivot中轴值
        int temp;
        //让比pivot值小的放左边，比pivot值大的放右边
        while (l < r){
            //在pivot的左边一直找，找到大于等于pivot值，才退出
            while (arr[l] < pivot){
                l += 1;
            }
            //在pivot的右边一直找，找到小于等于pivot值，才退出
            while (arr[r] > pivot){
                r -= 1;
            }
            if (l >= r){//左边全小于等于pivot，右边全大于pivot
                break;
            }
            //交换
            temp = arr[l];
            arr[l] = arr[r];
            arr[r] = temp;
            //如果交换完后，arr[l] == pivot值，r--，后移
            if (arr[l] == pivot){
                r -= 1;
            }
            //如果交换完后，arr[r] == pivot值，l++，后移
            if (arr[r] == pivot){
                l += 1;
            }
        }
        //如果 l == r ,则 l++,r--,否则会栈溢出
        if (l == r){
            l += 1;
            r -= 1;
        }
        //向左递归
        if (left < r){
            quickSort(arr,left,r);
        }
        //向右递归
        if (right > l){
            quickSort(arr,l,right);
        }
    }
}

归并排序

与快速排序的效率差不多。
●归并排序(MERGE-SORT)是利用归并的思想实现的排序方法，该算法采用经典的分治(divide-and-conquer)策略(分治法将问题分(divide)成一些小的问题然后递归求解，而治(conquer)的阶段则将分的阶段得到的各答案”修补”在一起，即分而治之)。

说明:
●可以看到这种结构很像一棵完全二叉树，本文的归并排序我们采用递归去实现(也可采用迭代的方式去实现)。分阶段可以理解为就是递归拆分子序列的过程。

package com.xudong.DataStructures;

import java.util.Arrays;

public class MergeSortDemo {
    public static void main(String[] args) {
        int arr[] = {8,4,5,7,1,3,6,2};
        int temp[] = new int[arr.length];
        mergeSort(arr,0,arr.length -1,temp);//归并arr.length-1次

        System.out.println("归并排序后：" + Arrays.toString(arr));
    }

    //分+合算法
    public static void mergeSort(int[] arr,int left,int right,int[] temp){
        if (left < right){
            int mid = (left + right) / 2;
            //向左递归分解
            mergeSort(arr,left,mid,temp);
            //向右递归分解
            mergeSort(arr,mid + 1,right,temp);
            //合并
            merge(arr,left,mid,right,temp);
        }
    }

    //合并的方法
    /**
     * @param arr 排序的原始数组
     * @param left 左边有序序列的初始索引
     * @param mid 中间索引
     * @param right 右边索引
     * @param temp 做中转的数组
     */
    public static void merge(int[] arr,int left,int mid,int right,int[] temp){
        int i = left;
        int j = mid + 1;
        int t = 0;
        //(一)先把左右两边（有序）的数据按照规则填充到temp数组
        //直到左右两边的有序序列有一边处理完为止
        while (i <= mid && j <= right){
            //如果左边的有序序列的当前元素，小于等于右边有序序列的当前元素
            //那么将左边的当前元素拷贝到temp数组
            if (arr[i] <= arr[j]){
                temp[t] = arr[i];
                t += 1;
                i += 1;
            }else {//反之，将右边有序序列的当前元素填充到temp数组
                temp[t] = arr[j];
                t += 1;
                j += 1;
            }
        }
        //(二)把剩余一边的数据依次全部填充到temp
        while (i <= mid){
            temp[t] = arr[i];
            t += 1;
            i += 1;
        }
        while (j <= right){
            temp[t] = arr[j];
            t += 1;
            j += 1;
        }
        //（三）将temp数组的元素拷贝到arr。并不是拷贝所有
        t = 0;
        int tempLeft = left;
        while (tempLeft <= right){
            arr[tempLeft] = temp[t];
            t += 1;
            tempLeft += 1;
        }
    }
}

基数排序

基数排序(桶排序)介绍:

●基数排序(radixsort) 属于“分配式排序”(distributionsort)，又称“桶子法”(bucket sort)或binsort，顾名思义，它是通过键值的各个位的值，将要排序的元素分配至某些“桶”中，达到排序的作用
●基数排序法是属于稳定性的排序，基数排序法的是效率高的稳定性排序法
●基数排序(Radix Sort)是桶排序的扩展
●基数排序是1887年赫尔曼何乐礼发明的。它是这样实现的:将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。

基数排序的说明:

●基数排序是对传统桶排序的扩展，速度很快.
●基数排序是经典的空间换时间的方式，占用内存很大，当对海量数据排序时,容易造成OutOfMemoryError 。
●基数排序时稳定的。[注:假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i]=r[j], 且r[i]在r[j]之前， 而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的;否则称为不稳定的]
●有负数的数组，我们不适用基数排序来进行排序。

基数排序基本思想

●将所有待比较数值统一为同样的数位长度，数位较短的数前面补零。然后，从最低位开始，依次进行一次排序。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后，数列就变成一个有序序列。

package com.xudong;

import java.util.Arrays;

public class RadixSortDemo {
    public static void main(String[] args) {
        int arr[] = {53,3,542,748,14,214};
        radixSort(arr);
    }

    //基数排序
    public static void radixSort(int[] arr){

        //得到数组中最大的数的位数
        int max = arr[0];
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            if (arr[i] > max){
                max = arr[i];
            }
        }
        //得到最大位数是几位数
        int maxLength = (max + "").length();

        //定义一个二维数组，表示十个桶，每个桶就是一个数组
        int[][] bucket = new int[10][arr.length];
        //为了记录每个桶中，实际存放了多少个数据,这里定义一个一维数组记录各个桶每次放入数据的个数
        int[] bucketElementCounts = new int[10];


        for (int i = 0 , n = 1; i < maxLength; i++,n *= 10) {
            //针对每个元素的对应的位数进行排序处理。个十百千
            for (int j = 0; j < arr.length; j++) {
                //取出每个元素的对应位的值
                int digitOfElement = arr[j] / n % 10;
                //放到对应的桶中
                bucket[digitOfElement][bucketElementCounts[digitOfElement]] = arr[j];
                bucketElementCounts[digitOfElement]++;
            }
            //按照桶的顺序（一维数组的下标依次取出数据，放入原来数组）
            int index = 0;
            //遍历每一个桶，并将桶中的数据放入到原数组
            for (int k = 0; k < bucketElementCounts.length; k++) {
                if (bucketElementCounts[k] != 0){//如果桶中有数据
                    //循环该桶即，即第k个桶，放入数据
                    for (int l = 0; l < bucketElementCounts[k]; l++) {
                        arr[index++] = bucket[k][l];
                    }
                }
                //每轮处理后，须将桶清空
                bucketElementCounts[k] = 0;
            }
            System.out.println("第" + (i + 1) + "轮，排序处理的结果：" + Arrays.toString(arr));
        }
    }
}

堆排序

堆排序基本介绍(参考后面的文章：树)

●堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。
●堆是具有以下性质的完全二叉树:每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆,注意:没有要求结点的左孩子的值和右孩子的值的大小关系。
●每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆


●一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆。

堆排序基本思想

●将待排序序列构造成一个大顶堆 => 数组
●此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。
●将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。
●然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。
可以看到在构建大顶堆的过程中，元素的个数逐渐减少，最后就得到一个有序序列了.

package com.xudong.DataStructures;

import java.util.Arrays;

public class HeapSortDemo {
    public static void main(String[] args) {
        int arr[] = {4,6,8,5,9};
        heapSort(arr);
    }

    //堆排序的方法
    public static void heapSort(int arr[]){
        int temp = 0;
        //将无序序列构建成一个堆，根据升序降序要求选择大顶堆或小顶堆
        for (int i = arr.length/2 - 1; i >= 0 ; i--) {
            adjustHeap(arr,i,arr.length);
        }
        //将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。
        //然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列
        for (int j = arr.length - 1; j > 0 ; j--) {
            temp = arr[j];
            arr[j] = arr[0];
            adjustHeap(arr,0,j);
        }
        System.out.println("数组：" + Arrays.toString(arr));
    }


    //将一个数组（二叉树）调整成一个大顶堆
    /**
     * @功能 将以i对应的非子节点的树调整成大顶堆
     * @param arr 待调整的数组
     * @param i 表示非叶子结点在数组中的索引
     * @param length 表示对多少个元素进行调整
     */
    public static void adjustHeap(int arr[],int i,int length){
        //取出当前元素的值，保存到临时变量
        int temp = arr[i];
        for (int k = i * 2 + 1;k < length;k = k * 2 + 1){
            if (k + 1 < length && arr[k] < arr[k + 1]){//左子节点的值小于右子节点的值
                k++;//k指向右子节点
            }
            if (arr[k] > temp){//如果子节点大于父节点
                arr[i] = arr[k];//将较大值赋给当前节点
                i = k;// i 指向 k 进行循环比较
            }else {
                break;
            }
        }
        //将i为父节点的树的最大值，放在了最顶（局部）
        arr[i] = temp;//将temp值放到调整后的位置
    }
}