题意:有一个图,既有单向边也有双向边,每个点有点权,边没有权值,求从一个点到另一个点的权值差(为正数)的最大值;
解法:最短路+分层图 或 双向SPFA;
1.最短路+分层图;可以很明显地看到如果想要赚钱,那么就要能从起点-->买入点-->卖出点-->终点,难点就是你能否经过买入点和卖出点,而分层图可以很好地解决这个问题; 我们可以建三个图,在每个图之间地连 “0” 边,第一个图连向第二个图的边的权值是第一个图上的 u的 val,第二个图连向第三个图的边的权值是第二个图上的 u的 val,最后将第一个图和第三个图的最后一个点用 “0” 边连向一个超级终点,然后跑一边最短路就行了;
2.双向最短路;正向跑一个最小值,反向跑一个最大值,最后对于图上的每一个点的 maxn - minn 求最大值,这就是答案;(记得建两个相反的图)
附上代码:
1.最短路+分层图:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define pr pair<int ,int >
using namespace std;
const int N = 5e5+10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline int read(){
int ref=0,x=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
while(isdigit(ch)) ref=ref*10+ch-'0',ch=getchar();
return ref*x;
}
int n,m,k,s,t;
struct edge{
int next,to,w;
}a[N<<4];
int head[N],cnt;
int dis[N<<4],vis[N<<4],val[N];
int ans=inf;
void add(int u,int v,int w){
a[++cnt]=(edge){head[u],v,w};
head[u]=cnt;
}
void ADD(int u,int v){
add(u,v,0);
add(u+n,v+n,0);
add(u+2*n,v+2*n,0);
add(u,v+n,val[u]);
add(u+n,v+2*n,-val[u]);
}
void spfa(int x){
memset(dis,inf,sizeof(dis));
queue<int > q;
q.push(x);
dis[x]=0,vis[x]=1;
while(!q.empty()){
int temp=q.front();
q.pop();
vis[temp]=0;
for(int i=head[temp];i;i=a[i].next){
int v=a[i].to;
if(dis[v]>dis[temp]+a[i].w){
dis[v]=dis[temp]+a[i].w;
if(!vis[v]) q.push(v),vis[v]=1;
}
}
}
}
int main()
{
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;++i) val[i]=read();
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y,z;
x=read(),y=read(),z=read();
ADD(x,y);
if(z==2) ADD(y,x);
}
add(n,n*3+1,0),add(n*3,n*3+1,0);
spfa(1);
for(int i=0;i<=k;++i) ans=min(ans,dis[n+i*n]);
printf("%d",-dis[n*3+1]);
return 0;
}
2.双向最短路:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define pr pair<int ,int >
using namespace std;
const int N = 5e5+10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline int read(){
int ref=0,x=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
while(isdigit(ch)) ref=ref*10+ch-'0',ch=getchar();
return ref*x;
}
int n,m;
struct edge{
int next,to;
}a[N<<4],b[N<<4];
int head[N<<4],head2[N<<4],cnt,cnt2;
int vis[N],val[N],f[N],dp[N];
int ans;
void add(int u,int v){
a[++cnt]=(edge){head[u],v};
head[u]=cnt;
}
void add2(int u,int v){
b[++cnt2]=(edge){head2[u],v};
head2[u]=cnt2;
}
void dijkstra1(){
priority_queue<pr ,vector<pr> ,greater<pr> > q;
memset(f,inf,sizeof(f));
q.push(make_pair(val[1],1));
f[1]=val[1];
while(!q.empty()){
int x=q.top().second;
q.pop();
if(vis[x]) continue;
vis[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=a[i].next){
int v=a[i].to;
f[v]=min(f[x],val[v]);
q.push(make_pair(f[v],v));
}
}
}
void dijkstra2(){
priority_queue<pr ,vector<pr> ,less<pr> > q;
memset(vis,0,sizeof(vis));
q.push(make_pair(val[n],n));
dp[n]=val[n];
while(!q.empty()){
int x=q.top().second;
q.pop();
if(vis[x]) continue;
vis[x]=1;
for(int i=head2[x];i;i=b[i].next){
int v=b[i].to;
dp[v]=max(dp[x],val[v]);
q.push(make_pair(dp[v],v));
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i) val[i]=read();
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y,z;
x=read(),y=read(),z=read();
add(x,y),add2(y,x);
if(z==2) add(y,x),add2(x,y);
}
dijkstra1();
dijkstra2();
for(int i=1;i<=n;++i) ans=max(ans,dp[i]-f[i]);
printf("%d",ans);
return 0;
}