试题1---经典概率问题：优惠券收集问题

问题：

    1维，1米长的路面，每次下一滴雨，每滴雨落到地面上长度是0.01米，落点假设均匀分布，求问下了多少滴雨之后路面会全部湿透，求期望？

分析：

 

    把一米长的路面分成100个格子，每个格子都落了雨滴了那么路面就湿透了。随机性在于每次哪个格子落雨是不确定的。 分析到这，了解优惠券收集问题的人应该知道这其实可以归约到该问题的。那么优惠券收集问题是怎样的呢？

 

优惠券收集问题：

    有个餐馆，每天随机发印有12生肖中的一种生肖的优惠券，小明每天都去该餐馆。问小明期望需要几天能收集到所有12生肖图案的优惠券。

这个问题如果直接去求，从至少需要12天开始，计算每种可能的概率进而计算期望会很麻烦。 我们借助概率性质：

随机变量的和的期望等于这些随机变量期望之和

 

    对于这个问题，我们需要把要求的期望分解为若个个随机变量的和。（E（X1+X2）=E(X1)+E(X2), 当 X1, X2相互独立时）

设随机变量S表示收集到所有生肖优惠券所需的最少天数， 我们用Xi表示收集到(i-1)种优惠券后，还需要多少天才能收集到第i种优惠券。

1. X1表示收集到第一种优惠券所需天数，显然X1=1

2. 我们来算X2，收集到第一种后，除了第一种的优惠券，其他任何一种都可以算第二种了，从而，他每天出现的 概率为11/12,进而期望天数为12/11 【1】(每天可以看出一个独立的贝努利实验)

3. 类似X3的期望为12/10, E(Xi)=12/(13-i) (i取值从1到12）

    我们有S=X1+X2+...X12，

E(S)=E(X1)+E(X2)+...+E(X12) = 12(1+1/2+1/3+..1/12)。

括号里面的那个为调和级数，近似地1+1/2+....1/n =log(n) (可以从积分角度证明)

    现在我们回到原题，100个格子可以看出100种优惠券，从而期望雨滴数为100(1+1/2+....1/100).

 【1】根据伯努利分布计算天数期望的推导过程如下图：

   

   

变种

    这个问题特别经典，有些问题可能比这题看起来更不容易归约，作为练习，大家可以考虑下面的问题：

    假设给定长度N的数组，我们需要对数组里的元素做随机打乱，采用如下算法， 请给出该算法复杂度：

1） 从第一个元素开始，我们随机产生一个1到N之间的下标，也用这个下标的元素跟第一元素交换

2） 处理第i个位置时，我们仍然是先随机产生一个1到N之间的下标，如果产生的下标在[1,i-1]中，我们丢弃这个下标，重现取个新的，直到满足要求

3） 处理完N个位置后，原数组被随机打乱了