极大似然估计

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极大似然估计详解

2017年05月28日 00:55:10 知行流浪 阅读数：124758

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�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 以前多次接触过极大似然估计，最近在看贝叶斯分类，总结如下：

贝叶斯决策

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 首先来看贝叶斯分类

 

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 其中：p(w)：为先验概率，表示在某种类别前提下，表示某事发生了，有了这个后验概率，说明某事物属于这个类别的可能性越大�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 我们来看一个直观的例子：已知：在夏季，女性穿凉鞋的概率为2/3，问题：若你在公园中随机遇到一个穿凉鞋的人�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 从问题看，某事发生了�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 设：

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 由已知可得：

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 男性和女性穿凉鞋相互独立（若只考虑分类问题，的取值并不重要）。

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 由贝叶斯公式算出：

 

 

 

问题引出

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 但是在实际问题中并不都是这样幸运的，而先验概率和类条件概率(各类的总体分布)都是未知的。根据仅有的样本数据进行分类时，然后再套用贝叶斯分类器。

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 先验概率的估计较简单�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 类条件概率的估计（非常难），把估计完全未知的概率密度转化为估计参数。这里就将概率密度估计问题转化为参数估计问题，概率密度函数的选取很重要，在样本区域无穷时，如果模型都错了，肯定也没啥意义了。

 

重要前提

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 上面说到�0�2 �0�2 �0�2 �0�2�0�2重要前提：训练样本的分布能代表样本的真实分布。每个样本集中的样本都是所谓独立同分布的随机变量 (iid条件)。

 

极大似然估计

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 极大似然估计的原理，如下图所示：

 

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 总结起来，反推最有可能（最大概率）导致这样结果的参数值。

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 原理：极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，即：“模型已定，观察其结果，则称为极大似然估计。

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 由于样本集中的样本都是独立同分布，来估计参数向量θ。记已知的样本集为：

 

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 似然函数（linkehood function）：联合概率密度函数称为相对于的θ的似然函数。

 

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 如果是参数空间中能使似然函数最大的θ值，那么就是θ的极大似然估计量。它是样本集的函数

 

求解极大似然函数

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 ML估计：求使得出现该组样本的概率最大的θ值。

 

�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2 实际中为了便于分析

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 1. 未知参数只有一个（θ为标量）

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 在似然函数满足连续、可微的正则条件下

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 2.未知参数有多个（θ为向量）

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 则θ可表示为具有S个分量的未知向量：

 

�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2 记梯度算子：

 

�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2 若似然函数满足连续可导的条件

 

�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2 方程的解只是一个估计值，它才会接近于真实值。

 

极大似然估计的例子

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 例1：设样本服从正态分布

 

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 它的对数：

 

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 求导

 

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 联合解得：

 

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 似然方程有唯一解：，这是因为当或时。于是U和的极大似然估计为。

 

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 例2：设样本服从均匀分布[a

 

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 对样本：

 

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 很显然,b)作为a和b的二元函数是不连续的，求L(a，为使L(a，b-a应该尽可能地小，否则,b)=0。类似地a不能大过，a和b的极大似然估计：

 

 

 

总结

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 求最大似然估计量的一般步骤：

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 （1）写出似然函数；

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 （2）对似然函数取对数�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 （3）求导数；

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 （4）解似然方程。

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 最大似然估计的特点：

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 1.比其他估计方法更加简单；

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 2.收敛性：无偏或者渐近无偏，收敛性质会更好；

�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 3.如果假设的类条件概率模型正确，将导致非常差的估计结果。