后缀自动机

关于SAM的介绍和构建见这几篇博客，这里主要是SAM的应用以及题目：

OI-wiki
洛谷日报
应用：
1.求一个串出现次数
模板题
利用parent tree的性质，将每个叶子（其实就是所有前缀）的size设为1，一个点内所有串的出现次数即为子树内size大小（即叶子个数）。

正确性：
显然出现次数即为终点集合大小，每个叶子节点对应唯一一个终点（因为是一个前缀）。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
int n,ans,tot,last,cnt;
int head[maxn<<1],size[maxn<<1];
char s[maxn];
struct edge{int to,nxt;}e[maxn<<2];
inline void edge_add(int u,int v)
{
	e[++cnt].nxt=head[u];
	head[u]=cnt;
	e[cnt].to=v;
}
struct Sam
{
	int fa,len;
	int ch[26];	
}sam[maxn<<1];
inline void sam_init(){sam[0].len=0;sam[0].fa=-1;last=0;}
inline void sam_add(int c)
{
	int now=++tot;size[now]=1;
	sam[now].len=sam[last].len+1;
	int p=last;
	while(~p&&!sam[p].ch[c])sam[p].ch[c]=now,p=sam[p].fa;
	if(p==-1){sam[now].fa=0;last=now;return;}
	int q=sam[p].ch[c];
	if(sam[q].len==sam[p].len+1)sam[now].fa=q;
	else 
	{
		int nowq=++tot;
		sam[nowq].len=sam[p].len+1;
		memcpy(sam[nowq].ch,sam[q].ch,sizeof(sam[q].ch));
		sam[nowq].fa=sam[q].fa;sam[q].fa=sam[now].fa=nowq;
		while(~p&&sam[p].ch[c]==q)sam[p].ch[c]=nowq,p=sam[p].fa;
	}
	last=now;
}
void dfs(int x)
{
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		dfs(e[i].to),size[x]+=size[e[i].to];
	if(size[x]>1)ans=max(ans,sam[x].len*size[x]);
}
int main()
{
	scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
	sam_init();
	for(int i=1;i<=n;i++)sam_add(s[i]-'a');
	for(int i=1;i<=tot;i++)edge_add(sam[i].fa,i);
	dfs(0); 
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

2.求一个串是否出现过

因为所有子串会在SAM被唯一表示，因此沿着SAM上的边走，发现失配即不存在。

3.求一个串不同子串的个数
模板题

有两种做法：

<1>利用parent tree的性质

对于每个非空集的节点(i)求(sam[i].len-sam[sam[i].fa].len)，加起来就是答案。

正确性：
因为SAM上没有重复的字符串，所有状态的字符串加起来就是答案，又因为一个集合的字串长度是连续的，于是可以通过(len)相减得到。
于是(sumlimits_{i=1}^{tot}sam[i].len-sam[sam[i].fa].len)就是答案

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=1e5+10;
int n,ans,last,tot;
char s[maxn];
struct Sam
{
	int fa,len;
	int ch[26];
}sam[maxn<<1];
inline void sam_init(){sam[0].len=0,sam[0].fa=-1;last=0;}
inline void sam_add(int c)
{
	int now=++tot;
	sam[now].len=sam[last].len+1;
	int p=last;
	while(~p&&!sam[p].ch[c])sam[p].ch[c]=now,p=sam[p].fa;
	if(p==-1){sam[now].fa=0;last=now;return;}
	int q=sam[p].ch[c];
	if(sam[q].len==sam[p].len+1)sam[now].fa=q;
	else 
	{
		int nowq=++tot;
		sam[nowq].len=sam[p].len+1;
		memcpy(sam[nowq].ch,sam[q].ch,sizeof(sam[q].ch));
		sam[nowq].fa=sam[q].fa;sam[q].fa=sam[now].fa=nowq;
		while(~p&&sam[p].ch[c]==q)sam[p].ch[c]=nowq,p=sam[p].fa;
	}
	last=now;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%s",&n,s+1);
	sam_init();
	for(int i=1;i<=n;i++)sam_add(s[i]-'a');
	for(int i=1;i<=tot;i++)ans+=sam[i].len-sam[sam[i].fa].len;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

同理：P4070 [SDOI2016]生成魔咒
<2>DAG上DP

注意到答案即为从空集点（0）出发的路径条数，又因为SAM是个DAG图，因此可以DP。

设(f_x)表示从(x)出发的路径条数，显然(f_0-1)就是答案，(-1)是为了减去空串。

转移有：
(f_x=1+sumlimits_{ exists edge(x,y)}f_y)

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=1e5+10;
int n,ans,last,tot;
int a[maxn<<1],f[maxn<<1];
char s[maxn];
struct Sam
{
	int fa,len;
	int ch[26];
}sam[maxn<<1];
inline bool cmp(int x,int y){return sam[x].len>sam[y].len;}
inline void sam_init(){sam[0].len=0,sam[0].fa=-1;last=0;}
inline void sam_add(int c)
{
	int now=++tot;
	sam[now].len=sam[last].len+1;
	int p=last;
	while(~p&&!sam[p].ch[c])sam[p].ch[c]=now,p=sam[p].fa;
	if(p==-1){sam[now].fa=0;last=now;return;}
	int q=sam[p].ch[c];
	if(sam[q].len==sam[p].len+1)sam[now].fa=q;
	else 
	{
		int nowq=++tot;
		sam[nowq].len=sam[p].len+1;
		memcpy(sam[nowq].ch,sam[q].ch,sizeof(sam[q].ch));
		sam[nowq].fa=sam[q].fa;sam[q].fa=sam[now].fa=nowq;
		while(~p&&sam[p].ch[c]==q)sam[p].ch[c]=nowq,p=sam[p].fa;
	}
	last=now;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%s",&n,s+1);
	sam_init();
	for(int i=1;i<=n;i++)sam_add(s[i]-'a');
	for(int i=0;i<=tot;i++)a[i]=i;
	sort(a,a+tot+1,cmp);
	for(int i=0;i<=tot;i++)
	{
		f[a[i]]=1;
		for(int j=0;j<26;j++)
			if(sam[a[i]].ch[j])f[a[i]]+=f[sam[a[i]].ch[j]];
	}
	printf("%lld",f[0]-1);
	return 0;
}

4.求不同串的长度和

依然有两种做法：

<1>同3.，可以DP求出。

设(f_i)表示(i)的出发的路径条数，(g_i)表示从(i)出发的路径总长度。

(f_i)的转移在3.中给出，(g_i)的转移如下：
(g_x=sumlimits_{ exists edge(x,y)}f_y+g_y)

<2>同3.，利用parent tree的性质

每个节点(i)对应的的后缀总长是(frac{len_i(len_i+1)}{2})（等差数列求和），减去父亲节点的该值即为当前节点的答案，求和即可。

5.求字典序第k大子串

先求出(f_i)表示从(i)出发的串个数，用类似平衡树上二分的方法在SAM上跑即可。

模板题

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=90010;
int T,n,tot,last,cnt;
int head[maxn<<1],f[maxn<<1],in[maxn<<1];
char s[maxn];
struct edge{int to,nxt;}e[maxn<<2];
struct Sam
{
	int fa,len;
	int ch[26];
}sam[maxn<<1];
inline bool cmp(int x,int y){return sam[x].len>sam[y].len;}
inline void add(int u,int v)
{
	e[++cnt].nxt=head[u];
	head[u]=cnt;
	e[cnt].to=v;
	in[v]++;
}
inline void sam_init(){sam[0].fa=-1,sam[0].len=0;last=0;}
inline void sam_add(int c)
{
	int now=++tot;
	sam[now].len=sam[last].len+1;
	int p=last;
	while(~p&&!sam[p].ch[c])sam[p].ch[c]=now,p=sam[p].fa;
	if(p==-1){sam[now].fa=0;last=now;return;}
	int q=sam[p].ch[c];
	if(sam[q].len==sam[p].len+1)sam[now].fa=q;
	else
	{
		int nowq=++tot;
		sam[nowq].len=sam[p].len+1;
		memcpy(sam[nowq].ch,sam[q].ch,sizeof(sam[q].ch));
		sam[nowq].fa=sam[q].fa;sam[q].fa=sam[now].fa=nowq;
		while(~p&&sam[p].ch[c]==q)sam[p].ch[c]=nowq,p=sam[p].fa;
	}
	last=now;
}
inline void topsort()
{
	queue<int>q;
	for(int i=0;i<=tot;i++)if(!in[i])q.push(i);
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();q.pop();
		f[x]=1;
		for(int i=0;i<26;i++)if(sam[x].ch[i])f[x]+=f[sam[x].ch[i]];
		for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		{
			int y=e[i].to;
			if(!(--in[y]))q.push(y);
		}
	}
	f[0]--; 
}
inline void solve(int k)
{
	int now=0;
	while(k)
	{
		for(int i=0;i<26;i++)
		{
			if(!sam[now].ch[i])continue;
			if(f[sam[now].ch[i]]<k)k-=f[sam[now].ch[i]];
			else 
			{
				putchar(i+'a');
				now=sam[now].ch[i];
				k--;break;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
	sam_init();
	for(int i=1;i<=n;i++)sam_add(s[i]-'a');
	for(int i=0;i<=tot;i++)
		for(int j=0;j<26;j++)
			if(sam[i].ch[j])add(sam[i].ch[j],i);
	topsort();
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		int k;scanf("%d",&k);
		solve(k);puts("");
	}
	return 0;
} 

扩展到本质相同的子串：P3975 [TJOI2015]弦论

5.最小循环移位

复制一份拆入SAM中，就变为找最小的长为n的子串，贪心即可。

6.第一次出现的位置

即求出每个状态的endpos中最小的那个。

对每个状态(s)维护(firstpos(s))，表示s的endpos中最小的那个。

code（已对拍）:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+10;
int n,m,last,tot;
char s[maxn],t[maxn];
struct Sam
{
	int fa,len,firpos;
	int ch[26];
}sam[maxn<<1];
inline void sam_init(){sam[0].fa=-1,sam[0].len=0;last=0;}
inline void sam_add(int c)
{
	int now=++tot;sam[now].len=sam[last].len+1;sam[now].firpos=sam[now].len;
	int p=last;
	while(~p&&!sam[p].ch[c])sam[p].ch[c]=now,p=sam[p].fa;
	if(p==-1){sam[now].fa=0;last=now;return;}
	int q=sam[p].ch[c];
	if(sam[q].len==sam[p].len+1)sam[now].fa=q;
	else
	{
		int nowq=++tot;
		sam[nowq].len=sam[p].len+1;sam[nowq].firpos=sam[q].firpos;
		memcpy(sam[nowq].ch,sam[q].ch,sizeof(sam[q].ch));
		sam[nowq].fa=sam[q].fa;sam[q].fa=sam[now].fa=nowq;
		while(~p&&sam[p].ch[c]==q)sam[p].ch[c]=nowq,p=sam[p].fa;
	}
	last=now;
}
inline int query(char* t)
{
	int len=strlen(t+1);
	int now=0;
	for(int i=1;i<=len;i++)
	{
		int c=t[i]-'a';
		now=sam[now].ch[c];
	}
	return sam[now].firpos;
}
int main()
{
	//freopen("test.in","r",stdin);
	//freopen("test.out","w",stdout);
	scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
	sam_init();
	for(int i=1;i<=n;i++)sam_add(s[i]-'a');
	scanf("%d",&m);
	while(m--)
	{
		scanf("%s",t+1);
		int len=strlen(t+1),res;
		res=query(t);
		if(~res)printf("%d
",res-len+1);
		else puts("-1");
	}
	return 0;
} 

7.一个串的所有出现位置

建出parent树，遍历该串的子树，遇见遇叶子节点就输出。

8.最短未出现子串

注意字符集给定，空串已出现过。

显然答案是从源点走到一个没有出边的节点再随便选个字符接上，于是我们要求的其实是从源点到一个最近的没有出边的节点的距离+1。

设(f_x)表示从x到最近的没有出边的节点的距离+1，显然有：
(f_x=1+min_{exists (x,y)}f_y)

(f_0)即为答案，输出只需要通过(f)退回去即可。

9.两字符串最长公共子串

考虑线对一个串建出SAM，之后求另一个串的每一个前缀与第一个串能匹配的最长后缀(l_i)，显然(max(l_i))即为答案。

匹配的过程：

设当前匹配到第i个前缀，当前节点为(now)，已经匹配的长度为(nowl)。

如果(now)有(s1_i)这条出边，就令(now=sam[now].ch[s1_i],nowl++)

否则就一直跳(now)的(fa)（即遍历(now)的所有后缀），同时令(nowl=len_{now})，直到匹配或者(now=0)

模板题
code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=250010;
int n,m,last,tot;
char s1[maxn],s2[maxn];
struct Sam
{
	int fa,len;
	int ch[26];
}sam[maxn<<1];
inline void sam_init(){sam[0].fa=-1,sam[0].len=0;last=0;}
inline void sam_add(int c)
{
	int now=++tot;sam[now].len=sam[last].len+1;
	int p=last;
	while(~p&&!sam[p].ch[c])sam[p].ch[c]=now,p=sam[p].fa;
	if(p==-1){sam[now].fa=0;last=now;return;}
	int q=sam[p].ch[c];
	if(sam[q].len==sam[p].len+1)sam[now].fa=q;
	else 
	{
		int nowq=++tot;
		sam[nowq].len=sam[p].len+1;
		memcpy(sam[nowq].ch,sam[q].ch,sizeof(sam[q].ch));
		sam[nowq].fa=sam[q].fa,sam[q].fa=sam[now].fa=nowq;
		while(~p&&sam[p].ch[c]==q)sam[p].ch[c]=nowq,p=sam[p].fa;
	}
	last=now;
}
inline int query(char* s,int len)
{
	int res=0,now=0,nowl=0;
	for(int i=1;i<=len;i++)
	{
		int c=s[i]-'a';
		while(now&&!sam[now].ch[c])now=sam[now].fa,nowl=sam[now].len;
		if(sam[now].ch[c])now=sam[now].ch[c],nowl++;
		res=max(res,nowl);
	}
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%s%s",s1+1,s2+1);
	n=strlen(s1+1),m=strlen(s2+1);
	sam_init();
	for(int i=1;i<=n;i++)sam_add(s1[i]-'a');
	printf("%d
",query(s2,m));
	return 0;
} 

10.多个串的最长公共子串

OI_wiki上的做法没看懂。

考虑扩展下9.的做法：
先建出第一个串的sam，之后让每个串和它匹配。

考虑对每个点(x)记如下信息：
(minn_x)表示(x)节点的最长串与所有串匹配的最小长度。
(maxx_x)表示在和某一个串(s_i)（注意这是一个在匹配过程中使用的，并不是全局的）匹配时，(x)这个节点的最长串能和(s_i)匹配的最长长度。

我们最后只要对所有节点的(minn)求个(max)即为答案。

当我们和(s_i)用9.的方法匹配后，我们要注意每个点的(maxx)并不一定满足它的定义，因为它在parent树上的儿子匹配的长度可能大于它，因为儿子能匹配，所以它肯定也能匹配，因此最后(maxx_x)要和它的子树取(max)（注意上界是自己的长度）。

模板题

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100010;
int n,m,tot,last,ans=0;
int a[maxn<<1],b[maxn<<1],maxx[maxn<<1],minn[maxn<<1];
char s[maxn]; 
struct SAM
{
	int fa,len;
	int ch[26];
}sam[maxn<<1];
inline void sam_init(){sam[0].fa=-1;sam[0].len=0;last=0;}
inline void sam_add(int c)
{
	int now=++tot;sam[now].len=sam[last].len+1;
	int p=last;
	while(~p&&!sam[p].ch[c])sam[p].ch[c]=now,p=sam[p].fa;
	if(p==-1){sam[now].fa=0;last=now;return;}
	int q=sam[p].ch[c];
	if(sam[q].len==sam[p].len+1)sam[now].fa=q;
	else 
	{
		int nowq=++tot;
		sam[nowq].len=sam[p].len+1;
		memcpy(sam[nowq].ch,sam[q].ch,sizeof(sam[q].ch));
		sam[nowq].fa=sam[q].fa,sam[q].fa=sam[now].fa=nowq;
		while(~p&&sam[p].ch[c]==q)sam[p].ch[c]=nowq,p=sam[p].fa;
	}
	last=now;
}
inline void work(char* s)
{
	int len=strlen(s+1),now=0,nowl=0;
	for(int i=1;i<=len;i++)
	{
		int c=s[i]-'a';
		while(now&&!sam[now].ch[c])now=sam[now].fa,nowl=sam[now].len;
		if(sam[now].ch[c])now=sam[now].ch[c],nowl++;
		maxx[now]=max(maxx[now],nowl);
	}
	for(int i=tot+1;i;i--)
	{
		int x=a[i];
		if(~sam[x].fa)maxx[sam[x].fa]=max(maxx[sam[x].fa],min(maxx[x],sam[sam[x].fa].len));
		minn[x]=min(minn[x],maxx[x]);maxx[x]=0;
	}
}
int main()
{
	//freopen("test.in","r",stdin);
	//freopen("test.out","w",stdout);
	scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
	sam_init();
	for(int i=1;i<=n;i++)sam_add(s[i]-'a');
	for(int i=0;i<=tot;i++)b[sam[i].len]++;
	for(int i=1;i<=n;i++)b[i]+=b[i-1];
	for(int i=0;i<=tot;i++)a[b[sam[i].len]--]=i;
	//for(int i=0;i<=tot;i++)cerr<<i<<' '<<sam[i].fa<<endl;
	memset(minn,0x3f,sizeof(minn));
	while(~scanf("%s",s+1))work(s);
	for(int i=0;i<=tot;i++)ans=max(ans,minn[i]);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}