P4249 [WC2007]剪刀石头布

题意

真是神题。

题中要求三元环数最多，不妨反着考虑。我们先从(n)个里面选(3)个，有(C_n^3)种方案，之后我们考虑选出的这些方案中最少有几个不能构成三元环。

考虑三个点不会构成三元环的情况，从入度与出度上考虑，必定是一个点入读和出度都为(1)，一个点入度为(2)出度为(0)，一个点出度为(2)入度为(0)。

于是从入度考虑。假如有一个点入度为(2)，那么会失去一个三元环，即它与连向它的那两个点这种方案。假如一个点入度为(3)，那么就会失去3个三元环，即它与连向它的三个点中选两个的所有方案。

于是我们可以知道：如果一个点(i)的入度为(d_i)，那么就会失去(C_{d_i}^2)个三元环。

我们要给所有未定向的边定向，如果我们定向了一条边(u->v)，那么(v)的入度会加(1)，我们设(v)原来的入度为(d_v)，考虑假如这条边会损失多少三元环，可知为(C_{d_v+1}^2-C_{d_v}^2=d_v)。

于是我们能算出给一个点入度增加(1)产生的代价，我们要使总代价最小，因此可得如下建图方法：

1.从(S)向每个未定向的边连((1,0))的边。
2.设当前第(x)个点的入度为(d_x)，从每个点(x)向汇点连((1,d_x),(1,d_x+1)...(1,n-2))的边，这样可以表示出(x)入度增加(1)产生的费用。
3.对于每条未定向的边((u,v))，从该边向(u,v)分别连((1,0))的边。

之后跑最小费用最大流，输出方案只需判断3.类边是否满流即可。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=110;
const int maxm=10010;
const int inf=1e9;
int n,m,cnt_edge=1,S,T,ans;
int head[maxn+maxm],in[maxn],dis[maxm+maxn];
int a[maxn][maxn],pos[maxn][maxn];
bool vis[maxn+maxm];
struct Edge{int u,v;}E[maxm];
struct edge{int to,nxt,flow,cost;}e[maxm*4+maxn*maxn*2];
inline int read()
{
	char c=getchar();int res=0,f=1;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0',c=getchar();
	return res*f;
}
inline void add(int u,int v,int w,int c)
{
	e[++cnt_edge].nxt=head[u];
	head[u]=cnt_edge;
	e[cnt_edge].to=v;
	e[cnt_edge].flow=w;
	e[cnt_edge].cost=c;
}
inline void addflow(int u,int v,int w,int c){add(u,v,w,c);add(v,u,0,-c);}
inline bool spfa()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    deque<int>q;
    q.push_front(S);dis[S]=0;vis[S]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop_front();vis[x]=0;
        for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        {
            int y=e[i].to;
            if(dis[y]>dis[x]+e[i].cost&&e[i].flow>0)
            {
                dis[y]=dis[x]+e[i].cost;
                if(!vis[y])
                {
                    if(q.empty()||dis[y]>dis[q.front()])q.push_back(y);
                    else q.push_front(y);
                    vis[y]=1;
                }
            }
        }
    }
    return dis[T]!=0x3f3f3f3f;
}
int dfs(int x,int lim)
{
    vis[x]=1;
    if(x==T||lim<=0)return lim;
    int res=lim;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(dis[y]!=dis[x]+e[i].cost||e[i].flow<=0||vis[y])continue;
        int tmp=dfs(y,min(res,e[i].flow));
        res-=tmp;
        e[i].flow-=tmp,e[i^1].flow+=tmp;
        if(res<=0)break;
    }
    return lim-res;
}
inline int Dinic()
{
    int res=0,cost=0;
    while(spfa())
    {
        int flow=dfs(S,inf);
        while(flow>0)
        {
            res+=flow,cost+=flow*dis[T];
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            flow=dfs(S,inf);
        }
    }
    return cost;
}
int main()
{
	//freopen("test.in","r",stdin);
	//freopen("test.out","w",stdout);
	n=read();ans=n*(n-1)*(n-2)/6;
	for(int i=1;i<=n;i++)	
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			a[i][j]=read();
			if(a[i][j]==1)in[j]++;
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{
			if(a[i][j]!=2)continue;
			E[++m]=(Edge){i,j};
		}
	S=0,T=n+m+1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		addflow(S,i,1,0);
		addflow(i,E[i].v+m,1,0);pos[E[i].u][E[i].v]=cnt_edge;
		addflow(i,E[i].u+m,1,0);pos[E[i].v][E[i].u]=cnt_edge;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ans-=in[i]*(in[i]-1)/2;
		for(int j=in[i]+1;j<n;j++)addflow(i+m,T,1,j-1);
	}
	printf("%d
",ans-Dinic());
	for(int i=1;i<=n;i++,puts(""))
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(a[i][j]<2)printf("%d ",a[i][j]);
			else printf("%d ",e[pos[i][j]].flow);
		}
	return 0;
}