【几何系列】向量：向量乘法（标量积、向量积）和向量插值

在本系列上一篇《【几何系列】复数基础与二维空间旋转》讲述了复数和二维旋转之间的联系。

在本文，向量是线性代数中的基本知识，本文只会侧重它们在计算机图形学和旋转几何学中的要点。

向量的记号

向量（vector）常用粗体来表示，与标量相区分（不过我为了方便，仅在此处加粗体）。例如：

$$mathbf{u}=egin{bmatrix}
2\
3
end{bmatrix}$$

其中 2 和 3 都称为向量 $mathbf{u}$ 的分量（component）。向量还可以分为列向量和行向量，列向量常常是推荐的表示方法。

向量的图示

向量作为一种代数元素，在计算机图形学中常用于表示空间中的有向线段和点。

如下图所示：

利用向量的表示，有向线段 $u$ 可以通过 $A$ 和 $B$ 两点相减计算得到：

$$mathbf{u}=egin{bmatrix}
3\
4
end{bmatrix}-egin{bmatrix}
1\
1
end{bmatrix}=egin{bmatrix}
2\
3
end{bmatrix}$$

可以看到，对于有向线段 $u$ 来说，它的向量表示保存了两条信息：方向和长度。而对于坐标点 $A$ 和 $B$ 来说，实际上也隐含了两条类似的信息：原点到坐标点的方向和原点到坐标点的距离长度。方向通过向量各分量的比例而确定，而长度则是通过向量大小（magnitude）确定。

向量大小

向量大小写作 $left | u ight |$，对分量应用毕达哥拉斯定理（国内称勾股定理）计算得到：

$$left | u ight |=sqrt{x^2+y^2}$$

其中 $x$ 和 $y$ 表示 $u$ 的两个分量。

推广到三维

前面考虑的是二维平面，如果推广到三维，则可以用向量表示出三维空间的点或有向线段：

$$u=egin{bmatrix}
x\ 
y\ 
z
end{bmatrix}$$

其大小为：

$$left | u ight |=sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

单位向量

前面说到，向量包含方向和大小的信息。那如果我们只关注方向信息呢？自然会想到把大小固定下来，进而引入了单位向量。

单位向量就是大小为 1 的向量，把普通向量转换为单位向量的过程称为规范化或标准化（normalization）。

向量的规范化很容易，将向量除以它的大小即可。

$$hat{u}=frac{u}{left | u ight |}$$

其中 $hat{u}$ 是 $u$ 所对应的单位向量。

笛卡尔向量

笛卡尔向量是特殊的单位向量，对应于笛卡尔坐标系中的 x/y/z 轴。即：

$$i=[1,0,0]^T,j=[0,1,0]^T,k=[0,0,1]^T$$

向量乘法

有两种向量乘法的定义，一种是两个向量相乘得到一个标量，称为标量积，又称点乘、点积、数量积；另一种是两个向量相乘得到一个向量，称为向量积，又称叉乘、叉积、矢量积。

标量积

标量积通过两个向量相乘得到一个标量。标量积的几何定义为：

$$rcdot s=left | r ight |left | s ight |coseta $$

简单来说，就是向量 $r$ 对 $s$ 作投影，得到 $rcoseta$，再将投影的大小 $left | r ight |coseta$ 和 $s$ 向量的大小 $left | s ight |$ 相乘（可以交换，不管哪个向量对另一个向量作投影结果都是相同的）。

标量积的设计是有道理的。

一方面，标量积在一定程度衡量了两个向量方向的“相似性”。固定大小的两个向量，夹角越小，方向越接近，相似度越高。

另一方面，标量积既然得到的是一个标量，向量又是标量的一种推广，我们自然希望它和普通标量的乘法统一起来。

与标量不同的是，向量具有方向性。那么在设计标量积的时候，一些显然需要考虑的场景是：

1. 当两个向量方向一致时，我们希望这个标量积就等于两个向量大小的乘积。
2. 当两个向量方向相反时，我们希望这个标量积等于向量方向一致情况的相反数。
3. 当两个向量相互垂直（正交）时，这两个向量其实是线性无关的，我们认为它们俩其实没啥交流语言（或者说相似性为 0），乘积为 0 最好。

利用以上特殊场景，当面对更普遍的情况时，对向量进行正交分解，不难得到 $rcdot s=left | r ight |left | s ight |coseta $ 的定义。

当然，这只是定义而已，前面这些考虑都只是为了帮助理解这个定义的几何含义。

标量积还有它的代数定义：

$$rcdot s=r_xs_x+r_ys_y+r_zs_z$$

即两个向量的各个分量分别相乘，再相加。

标量积的几何定义和代数定义在笛卡尔坐标系上是等价的。即：从几何定义出发可以推导出代数定义，而从代数定义也可以推导出几何定义。

这两种定义给了我们两条解决问题的路径，显然，利用数量积作为桥梁，求两个向量的夹角也变得容易起来：

$$eta =arccos(frac{r_xs_x+r_ys_y+r_zs_z}{left | r ight |left | s ight |})$$

马里奥赛车里面的标量积应用：

要获得最大程度的加速效果，开车的方向要与加速板的方向尽可能一致，对加速板方向的投影大小要尽可能大。

向量积

向量积通过两个向量相乘得到另一个向量。

向量积定义为：

$$left |a  ight | imes left | b ight |=left | t ight |$$

其中 $t$ 的向量大小为：

$$left | t ight |=left |a  ight | left | b ight |sin heta$$

由于向量积得到的一个向量，那么向量就会有方向和大小两条信息。

对于向量 $t$ 的大小，如上图所示，向量积大小等于两个向量张成的平行四边形的面积。该面积衡量了两个向量的差异性（difference）。如果 $a$ 和 $b$ 是垂直（正交）的，两者的差异性最大，在两个向量大小不变的情况此时面积最大（$sin heta=1$）；如果 $a$ 和 $b$ 是共线的，两者的差异性最小，此时面积等于 0。

对于向量 $t$ 的方向，考虑的是这样的问题：两个向量虽然张成的面积一样，但是方向却可能不同，只考虑张成的平行四边形面积大小会丢失掉这样的差异。例如笛卡尔向量，如果只考虑面积大小，$i imes j$ 和 $i imes k$ 得到的结果是完全一样的，但是 $j$ 和 $k$ 却是不同的方向。因此为了添加这个方向信息，如下图所示，通常采用右手法则（一种约定，区别于左手法则），规定了向量积 $t$ 的方向，即垂直于 $a$ 和 $b$ 张成的平面。于是 $i imes j$ 和 $i imes k$ 虽然向量大小相同，向量方向却不同。

向量积不满足交换律，但满足反对称关系：

根据这种关系，可以很容易知道笛卡尔向量的计算规律：

$$i imes j=k$$

$$j imes i=-k$$

$$j imes k=i$$

$$k imes j=-i$$

$$k imes i=j$$

$$i imes k=-j$$

我们还知道同一向量的向量积为 0（因为夹角 $ heta$ 为 0）：

$$i imes i=0$$

$$j imes j=0$$

$$k imes k=0$$

基于以上关系，我们可以推导出向量积的代数计算公式。

已知两个向量 $a=a_xi+a_yj+a_zk$ 和 $b=b_xi+b_yj+b_zk$，计算：

egin{align*}
a imes b &= (a_xi+a_yj+a_zk) imes(b_xi+b_yj+b_zk)\
&=a_xb_xi imes i + a_yb_yj imes j+a_zb_zk imes k+a_xb_yi imes j+a_xb_zi imes k+a_yb_xj imes i+a_yb_zj imes k+a_zb_xk imes i+a_zb_yk imes j\
&=0+0+0+a_xb_yk-a_xb_zj-a_yb_xk+a_yb_zi+a_zb_xj-a_zb_yi\
&=(a_yb_z-a_zb_y)i+(a_zb_x-a_xb_z)j+(a_xb_y-a_yb_x)k\
&=egin{vmatrix}
a_y & a_z\
b_y & b_z
end{vmatrix}i-egin{vmatrix}
a_x & a_z\
b_x & b_z
end{vmatrix}j+egin{vmatrix}
a_x & a_y\
b_x & b_y
end{vmatrix}k \
&=egin{vmatrix}
i & j & k\
a_x & a_y & a_z\
b_x & b_y & b_z
end{vmatrix}
end{align*}

最后两步使用了行列式进行整理。最后，我们把向量积的定义和代数计算公式结合起来就是：

egin{align*}
mathbf{a} imes mathbf{b} &= left | mathbf{a} ight |left | mathbf{b} ight |sin heta hat{mathbf{t}} \
&=egin{vmatrix}
i & j & k\
a_x & a_y & a_z\
b_x & b_y & b_z
end{vmatrix}\
&=egin{vmatrix}
a_y & a_z\
b_y & b_z
end{vmatrix}i-egin{vmatrix}
a_x & a_z\
b_x & b_z
end{vmatrix}j+egin{vmatrix}
a_x & a_y\
b_x & b_y
end{vmatrix}k
end{align*}

$hat{mathbf{t}}$ 表示满足右手定则的单位法向量。

向量插值

这里仅讨论两种向量插值技术：线性插值和球形插值。线性插值的路径是直线，球形插值的路径是圆形或者曲线。

线性插值

线性插值非常直观，已知两个向量，给这两个向量各分配一个权重相加，权重和为 1。令插值得到的向量为 $v(t)$，则

$$v(t)=(1-t)v_1+tv_2=v_1+t(v_2-v_1)$$

其中 $tin [0,1]$，当 $t=0$ 时，$v(t)=v_1$，当 $t=1$ 时，$v(t)=v_2$。

根据上式中的第二个等号，可以利用几何的方法推断出插值的路径：

$(v_2-v_1)$ 就是 $v_1$ 箭头端点指向 $v_2$ 箭头端点的向量，而 $t(v_2-v_1)$ 的箭头端点就在这个向量表示的线段上移动。通过与 $v_1$ 相加后发现，插值出来的 $v(t)$ 的箭头端点也在这条线段上，这就是线性插值的路径。

通过图示我们可以看到，这种线性插值在当两个向量大小相等时，无法保证插值向量的大小不变，在很多应用中我们其实希望这个向量大小是稳定的。比如 $v_1$ 和 $v_2$ 假设表示一条手臂在 $t_1$ 时刻和 $t_2$ 时刻的位置状态的话，我们希望插值得到 $t_1$ 和 $t_2$ 时刻之间的手臂的位置状态，如果用线性插值，我们会发现这个本来长度固定不变的手臂，插值后长度竟然发生变化了。

这就引入了球形插值。

球形插值

球形插值的推导过程暂且不表，但是其核心思想是加入了这样的限制条件：两个单位向量插值出来必然也是单位向量，进而保证了我们希望长度稳定的需求。

如果两个向量大小相同，它的插值路径是圆形；如果向量大小不同，则插值路径是曲线。一些例子：

 

插值公式如下：

$$v(t)=frac{sin(1-t) heta}{sin heta}v_1+frac{sint heta}{sin heta}v_2$$

其中，$tin [0,1]$，当 $t=0$ 时，$v(t)=v_1$，当 $t=1$ 时，$v(t)=v_2$。而 $ heta$ 是 $v_1$ 和 $v_2$ 的夹角，可以通过点乘的公式计算余弦。

参考

• 维基百科：数量积
• 维基百科：叉积
• Vector Calculus: Understanding the Dot Product
• Vector Calculus: Understanding the Cross Product
• 探讨：向量（方向）之间的插值-四元数法VS.旋转矩阵法的性能比较
• 《Rotation Transforms for Computer Graphics》by John Vince