欧拉函数

 

在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目　　

用φ(n) 来表示欧拉函数，特别的是对于一个数n，1也是与n互质的，则 φ(1) = 1；

欧拉函数的通式：$phi left( n ight) =ncdot left( 1-dfrac {1}{p_{1}} ight) .left( dfrac {1}{1-p_{2}} ight) cdot ldots cdot left( 1-dfrac {1}{p_{k}} ight)$

 对于公式的推导，只有感叹一句：欧拉牛逼！

这里主要讲一下怎么转化为代码。首先要知道的是 p1，p2，... pk 都是 n 的质因数(不重复）

例如 12 = 2 * 2 * 3，那么 p1 = 2， p2 = 3；

则：φ(12) = 12 * (1 - 1/2) * (1 - 1/3) = 4；这四个数分别是 1，5，7，11 

接下来考虑怎么求 φ(n)，由于φ(n) = n * (1 - 1/p1)  *  (1 - 1/p2) .....　　

　　　　　　　　　　　　　我们设 ans = n，展开 n * (1 - 1/p1)  = ans * (1 - 1/p1) = ans - ans/p1，-->> ans = ans - ans/p1　　由此类推我们可以得到递推公式：

　　　　　　　　　　　　　ans = ans - ans/pi （pi 是 n 的质因数）

　　接下来上代码：

　　

　　这只是对于求一个数的欧拉函数。复杂度是 $Oleft( log n ight)$ 的。

　　那么如果我们要求的是 $left[ 1,n ight]$ 区间的欧拉函数的话，就需要更快的方法了。

　　我这里介绍的是根据 欧拉筛来求欧拉函数，是线性的。如果对欧拉筛不懂的话，可以先去学习一波，不然不容易理解代码

　　

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;

int phi[N], mark[N], prime[N];
//phi 用来记录欧拉函数，mark来标记素数， prime来存素数
int lenPrime = 0;

void euler()
{
    //1 要特判
    phi[1] = 1;
    memset(mark, 0, sizeof(mark));
    for(int i = 2; i < N; i++)
    {
        //如果 i 是素数
        if(mark[i] == 0)
        {
            phi[i] = i - 1; //素数的欧拉函数就是 自己 - 1
            prime[lenPrime++] = i;  //把素数记录下来
        }
        //循环条件 ： j 就是遍历prime数组，i * prime[j] < N 也是显然易见的
        for(int j = 0; j < lenPrime && i * prime[j] < N; j++)
        {
            // i* prime[j] 是合数，所以标记为 1
            mark[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0)
            {
                phi[i*prime[j]] = prime[j] * phi[i];
                break;
            }
            else phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
        }
    }
}

int main()
{
    euler();
    for(int i = 1; i <= 20; i++)    printf("E[%d] = %d
", i, phi[i]);
    return 0;
}

　　

这里主要对两个地方进行讲解：

　　第一是 31行的：

　　　if(i % prime[j] == 0)　　phi[i*prime[j]] = prime[j] * phi[i];

　　　我们设 a = i * prime[j] ；显然 prime[j] 是 a 的一个质因子

　　　1.那么  a 的 其他质因子 显然 在 i 里，也就是说 a 的质因子 = i 的质因子 + prime[j]

　　　2.但由于 i % prime[j] == 0  ------>  prime[j] 也是 i 的 质因子

　　　综合 1 和 2 的结论 我们可以得出 a 的 质因子 = i 的质因子

　　　例如 当 i = 6，prime[j] = 2 时，i* prime[j] = 12； 显然 6 % 2 == 0 ，则 6 的质因子都是 12 的质因子。

　　　由欧拉函数 φ(i * prime[j]) = （prime[j] * i）* （1 - 1/p1) * (1 - 1/p2)....

　　　　　　　　　　　　　        =　prime[j] * i * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2)......　　//由于 p1，p2，....都是 i 的 质因子

　　　　　　　　　　　　　        =    prime[j] * φ(i )

　　

　　第二是 34 行的：

　　　　这里我们需要知道 积性函数 ： f(a*b) = f(a) * f(b) （a，b互质)　　那么 f 这个函数就是一个积性函数

　　　　欧拉函数也是一个积性函数　   所以当 a，b 互质时 ：φ(a * b)  = φ(a) * φ(b)  

　　

关于欧拉函数暂时就讲到这里.............