https://vjudge.net/contest/299441#problem/A
题意:给出图,求1到n点的最短距离。
https://www.cnblogs.com/thousfeet/p/9229395.html
Dijkstra:时间复杂度为O(n^2)
单源最短路径:1、所有节点分为两个集合,已确定最短路的集合P、未知最短路的集合Q。开始,P中只有有源点u这一个节点。
2、在Q集合中选取一个点v加入P集合,该v点离源点u节点最近,然后考虑v点的出边,对集合Q中的点更新到有源点u的距离。
3、重复第二步,直到集合Q为空。最终dis数组的值就是源点到所有顶点的最短路径。
注意:该算法不能处理会负权边的图。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll ; #define int ll #define mod 998244353 #define gcd(m,n) __gcd(m, n) #define rep(i , j , n) for(int i = j ; i <= n ; i++) #define red(i , n , j) for(int i = n ; i >= j ; i--) #define ME(x , y) memset(x , y , sizeof(x)) int lcm(int a , int b){return a*b/gcd(a,b);} ll quickpow(ll a , ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*a%mod;b>>=1,a=a*a%mod;}return ans;} //int euler1(int x){int ans=x;for(int i=2;i*i<=x;i++)if(x%i==0){ans-=ans/i;while(x%i==0)x/=i;}if(x>1)ans-=ans/x;return ans;} //const int N = 1e7+9; int vis[n],prime[n],phi[N];int euler2(int n){ME(vis,true);int len=1;rep(i,2,n){if(vis[i]){prime[len++]=i,phi[i]=i-1;}for(int j=1;j<len&&prime[j]*i<=n;j++){vis[i*prime[j]]=0;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}else{phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];}}}return len} #define INF 0x3f3f3f3f #define PI acos(-1) #define pii pair<int,int> #define fi first #define se second #define lson l,mid,root<<1 #define rson mid+1,r,root<<1|1 #define pb push_back #define mp make_pair #define all(v) v.begin(),v.end() #define size(v) (int)(v.size()) #define cin(x) scanf("%lld" , &x); const int N = 1e7+9; const int maxn = 1e2+9; const double esp = 1e-6; int ma[maxn][maxn];//数据范围小,可直接邻接矩阵存图。 int vis[maxn];//标记为集合P中的点 int dis[maxn];//有源点到各点的最短路径 int n , m ;//n个顶点,m条边 void init(){//初始化 ME(vis, 0); fill(ma[0] , ma[0]+maxn*maxn , INF);//没有边相连,初始化为无穷大 } void dijkstra(int u){//源点 rep(i , 1 , n){ dis[i] = ma[i][u];//更新 } vis[u] = 1 ;//放入集合P rep(i , 1 , n-1){//进行n-1次选点放入P集合 int pos ; int mi = INF; rep(j , 1 , n){//在Q集合中找到一个点,该点到有源点u的距离最短 if(!vis[j] && mi > dis[j]){ mi = dis[j]; pos = j; } } vis[pos] = 1 ;//放入集合P rep(j , 1 , n){ if(!vis[j] && dis[j] > dis[pos] + ma[pos][j]){//通过刚放入集合P的点v,更新Q集合的点到有源点u的距离 dis[j] = dis[pos] + ma[pos][j]; } } } } void solve(){ init(); rep(i , 1 , m){ int u , v , w; scanf("%lld%lld%lld" , &u , &v , &w); ma[u][v] = ma[v][u] = min(ma[u][v] , w); } dijkstra(1); cout << dis[n] << endl; } signed main() { //ios::sync_with_stdio(false); //int t ; //scanf("%lld" , &t); //while(t--) while(~scanf("%lld%lld" , &n , &m) && n+m) solve(); }
dijkstra堆优化(时间复杂度为O(nlogm)
邻接表建图(链式前向星)适合存储稀疏图。
朴素算法在找点时,需要一重循环在Q集合里找到一点v到有源点u集离最短。而该过程可以通过小根堆进行优化,使得找点时间复杂度降到logn。
使用优先队列实现堆优化。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll ; #define int ll #define mod 998244353 #define gcd(m,n) __gcd(m, n) #define rep(i , j , n) for(int i = j ; i <= n ; i++) #define red(i , n , j) for(int i = n ; i >= j ; i--) #define ME(x , y) memset(x , y , sizeof(x)) int lcm(int a , int b){return a*b/gcd(a,b);} //ll quickpow(ll a , ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*a%mod;b>>=1,a=a*a%mod;}return ans;} //int euler1(int x){int ans=x;for(int i=2;i*i<=x;i++)if(x%i==0){ans-=ans/i;while(x%i==0)x/=i;}if(x>1)ans-=ans/x;return ans;} //const int N = 1e7+9; int vis[n],prime[n],phi[N];int euler2(int n){ME(vis,true);int len=1;rep(i,2,n){if(vis[i]){prime[len++]=i,phi[i]=i-1;}for(int j=1;j<len&&prime[j]*i<=n;j++){vis[i*prime[j]]=0;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}else{phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];}}}return len} #define INF 0x3f3f3f3f #define PI acos(-1) #define pii pair<int,int> #define fi first #define se second #define lson l,mid,root<<1 #define rson mid+1,r,root<<1|1 #define pb push_back #define mp make_pair #define all(v) v.begin(),v.end() #define size(v) (int)(v.size()) #define cin(x) scanf("%lld" , &x); const int N = 1e4+9; const int maxn = 1e2+9; const double esp = 1e-6; int head[maxn],tol;//链式前向星 int vis[maxn] , dis[maxn]; int n , m ; struct Graph{ int v , w , next; }g[N<<1];//双向边要开两倍 struct Edge{ int v , w ; bool operator < (const Edge &e) const{ return w > e.w; } Edge(int _v , int _w){ v = _v , w = _w ; } }; void add(int u , int v , int w){//建图 g[++tol] = {v , w , head[u]}; head[u] = tol; } void dijkstra(int u){ rep(i , 1 , n) dis[i] = INF; dis[u] = 0 ; priority_queue<Edge>q; q.push(Edge(u , dis[u])); while(!q.empty()){ Edge now = q.top();q.pop(); if(vis[now.v]) continue; vis[now.v] = 1; for(int i = head[now.v] ; i ; i = g[i].next){ int v = g[i].v; int w = g[i].w; if(!vis[v] && dis[v] > dis[now.v] + w){ dis[v] = dis[now.v] + w; q.push(Edge(v , dis[v])); } } } } void init(){ ME(vis , 0); ME(head , 0); tol = 0; } void solve(){ init(); rep(i , 1 , m){ int u , v , w ; scanf("%lld%lld%lld" , &u , &v , &w); add(u , v , w); add(v , u , w); } dijkstra(1); cout << dis[n] << endl; } signed main() { while(~scanf("%lld%lld" , &n , &m) && n+m) solve(); }