基础数论
整除
一、概念
若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说b能整除a，即b|a，读作"b整除a"或"a除以b"。
可以理解为b是a的因子，a是b的倍数。
二、性质
(1.传递性：如果a:|:b且b:|:c，那么a:|:c)
(2.结合性：a:|:b且a:|:c，那么对于任意整数x和y，有a:|:(b*x+c*y))
(3.同除性：设m:!= 0，那么a:|:b等价于(m*a):|:(m*b))
(4.条件性: a = q*b + r:， b:|: a等价于 r:|:b)
(5.a:|:c:,: b:|:c:,: gcd(a,b)=1 那么 ab:|:c)
(6.p:|:ab , 那么p:|:a或p:|:b , 如果gcd(p,a) = 1 , 那么p:|:b)
同余
一、概念
(给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即m|(a-b)，那么就称整数a与b对模m同余。)
(记作a≡b(mod:m)。对模m同余是整数的一个等价关系。可表示为a≡b(mod:m)⇐⇒m|(a−b))
二、性质
(1.可加减性:aequiv b(mod:m) , cequiv d(mod:m)
ightarrow a+cequiv b+d(mod:m))
(证明:可知有:m:|:a-b , m:|:c-d , 根据整除结合性有m:|:a+c-b-d , 得证 a+cequiv b+d(mod:m))
(2.可乘性:aequiv b(mod:m) , c equiv d (mod:m)
ightarrow ac equiv bd(mod:m))
(证明:可知有：a = q_1m+b , c = q_2m+d
ightarrow ac = (q_1q_2m+q_1d+q_2b)m + cd 。根据同余得证
ightarrow acequiv bd(mod:m))
(3.注意除法不具有一般消去律:gcd(c , m) = d , ac equiv bc(mod:m)
ightarrow a equiv b (mod:frac{m}{d}))
(证明：已知有m:|:c(a-b)。 两边同时除d , frac{m}{d} :|: frac{c}{d} (a-b) , 可知gcd(frac{c}{d} , frac{m}{d}) = 1 , 根据上整除性质5可得, frac{m}{d} | (a - b) , 得证 a equiv b (mod:frac{m}{d}))
模运算与取余
一、概念
取模运算（“Modulus Operation”）和取余运算（“Remainder Operation ”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。
主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。 ---百度百科
二、区别及运算
(0<=a : mod : m <= m:,:-m<=a \% b<=m ， 所以在求余时，模为负数要转为正数，方法：(a\%m+m)\%m)
计算机上有几种对于结果取整的方法:
1.向上取整：向+∞方向取最接近精确值的整数，也就是取比实际结果稍大的最小整数，也叫 Ceiling 取整。
2.向-∞方向取最接近精确值的整数，也就是取比实际结果稍小的最大整数，也叫 Floor 取整。
3.向零取整，向0方向取最接近精确值的整数，换言之就是舍去小数部分，因此又称截断取整（Truncate）。
cjava：对于模运算采用向零取整。（a % b = a - (a/b)*b）
-17 % 10 的计算结果如下：r = (-17) - (-17 / 10) x 10 = (-17) - (-1 x 10) = -7
17 % -10 的计算结果如下：r = 17 - (17 / -10) x (-10) = (17) - (-1 x -10) = 7
-17 % -10 的计算结果如下：r = (-17) - (-17 / -10) x (-10) = (-17) - (1 x -10) = -7
欧几里得
一、gcd与lcm概念
最大公约数：指两个或多个整数共有约数中最大的一个。(a，b的最大公约数记为gcd（a,b)).
最小公倍数：两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。(a,b的最大公倍数记作lcm(a,b)).
二、gcd与lcm性质
(1.gcd(a,b) = gcd(b,a))
(2.gcd(a,b) = gcd(a-b,b)(a>=b)(证明：假设公约数为d , d:|:a , d:|:b , 根据整除性质的结合性
ightarrow d:|:(a-b) , d:|:b))
(3.gcd(a,b) = gcd(a\% b , b)(证明：假设a :，b的gcd(a,b) = d :,: d:|:a :,: d:|:b :,: a = d*q+r :
ightarrow : d:|:r . 得证gcd(a,b) = gcd(r,b) = gcd(a\%b , b)))
(4.lcm(a,b) = frac{a*b}{gcd(a,b)}(a*b必为在a,b的倍数,除去最大共因子即为最小公倍数))
三、从唯一分解定理看gcd(a,b)、lcm(a,b)和a*b间的关系
由唯一分解定理：
三、欧几里得求gcd
(已知：gcd(a , b) = gcd(a\%b , b) = gcd(b , a\%b))
(将b看作新的a即a'，a\%b看作b',重复以上两步。直到gcd(a'' , 0) = a''结束.)
int gcd(int a , int b){
if(b == 0){
return a ;
}else{
gcd(b , a%b);
}
//return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
扩展欧几里得
一、简介
(解二元一次不定方程a*x+b*y=gcd(a,b).求一组解(x_0,y_0))
由欧几里得可知上面两式相等.
对等号右边进行合并同类项得
得到递推式：
(终止条件：当b = 0 时，有 x_2 = 1 , y_2 = 0.根据递推式反推x_0,y_0.)
代码实现：(可以知道求x_0 , y_0过程是一个递归过程,需要先求得x_2,y_2再根据递推式倒推。)
void ex_gcd(int a , int b , int &d , int &x , int &y){
if(!b){//终止条件b=0
d = a ;
x = 1 ;
y = 0 ;
}else{
ex_gcd(b , a%b , d , x , y);//递归
//倒推过程
int t = x ;
x = y ;
y = t - (a/b)*y;
}
}
int cal(int a , int b , int c){
ex_gcd(a , b , d , x , y);
int t = b/d;
return (x%t+t)%t;//得到x得最小正整数解
}
可以知道二元一次方程具有多组解：
一般解题都是要求最小正整数解:(x = (x\%frac{b}{d}+frac{b}{d})\%frac{b}{d})，将x代入方程求出y
二、解二元一次不定方程ax+by=c
有解条件(gcd(a,b)|c).
逆元
一.概念
逆元素是指一个可以取消另一给定元素运算的元素，在数学里，逆元素广义化了加法中的加法逆元和乘法中的倒数。---百度百科
在数论同余方程中，对于(a * x≡b（mod:m）)这个方程如果我们要求解的话其实是比较复杂的，可是如果我们可以求出(a * y≡1（mod:m）)中的y的话，
在上面那个方程上同乘以y就可以得到，(x=b * y(mod:m))，是不是很神奇，我们也称y是a在mod m的条件下的逆元，写作(x^{-1})。
二.费马小定理求逆元
费马小定理(Fermat's little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出。如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p） ---百度百科
将费马小定理等式两边同除a（即乘以(a^{-1})) ， 得(a^{-1} equiv a^{p-2}(mod p)) , 所以a的逆元就等于a在模p下得p-2次方，快速幂求解。
注意：费马小定理的两个条件：(gcd(a,p)=1、p为质数)
int quickpow(int a , int b , int mod){
int ans = 1 ;
while(b){
if(b&1){
ans = ans * a % mod ;
}
b >>= 1 ;
a = a * a % mod ;
}
return ans ;
}
int inv(int a , int m){//a在模m下的逆元
return quickpow(a , m-2 , m);
}
三、扩展欧几里得求逆元
费马小定理求逆元代码很简洁，但有时候求逆元模数p可能不是质数，但有(gcd(a,p) = 1)，存在逆元。
这时候扩展欧几里得得排上用场了。
(a*x equiv 1 (mod:p))，可以转化成二元一次不等式，(a*x+p*k = 1),这时求出x的最小正整数解(x_0)即为a在模p下得逆元。
void ex_gcd(int a , int b , int &d , int &x , int &y){
if(!b){
d = a ;
x = 1 ;
y = 0 ;
}else{
ex_gcd(b , a%b , d , x , y);
int t = x ;
x = y ;
y = t - (a/b)*y;
}
}
int inv(int a , int p , int c){
ex_gcd(a , p , d , x , y);
if(gcd(a,p) != 1) return 0;//不存在逆元
int t = b/d;
return (x%t+t)%t;//x得最小正整数解
}
四、线性筛逆元
首先有(1^{-1} equiv 1(mod p))
设(p = k * i + r(k是frac{p}{i}得商 , r是余数))有
两边乘以(i^{-1} , r^{-1})，得
移项得
将k和r带入得
所以有递推式
void solve(){
inv[1] = 1 ;
for(int i = 2 ; i < p ; i++){
inv[i] = (p - p/i) * inv[p%i] % p ;
}
}
五、阶乘逆元
阶乘逆元(inv[i+1] = frac{1}{(i+1)!})有递推关系：(inv[i] = inv[i+1] * (i+1))
阶乘逆元一般会在求组合数且结果需要mod时出现,先求出1-n的阶乘，再利用扩展欧几里得或则费马小定理求出n阶乘的逆元，根据递推关系倒退1-n-1阶乘得逆元
inv[N]=quickpow(fac[N],mod-2);
for(ll i=N-1;i>=0;i--)
inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%mod;
中国剩余定理
一、介绍
中国剩余定理是求解一元线性同余方程组
(m_1 , m_2 , ... , m_n)两两互质，则对任意整数(a_1,a_2,...,a_n)，求最小非负整数解x。
二、求解
令(M = Pi^{n}_{i=1}m_i),M为所有模数得最小公倍数。
令(t_i 为同余方程frac{M}{m}*t_i equiv 1(mod:m_i))的最小非负整数解
则有一个解为 (x = Sigma^{n}_{i=1}a_i*frac{M}{m_i}*t_i)
同解为(x = x + M*q)
最小非负整数解((x\%M+M)\%M.)
int ex_gcd(int a , int b , int &x , int &y){
if(!b){
x = 1 ;
y = 0 ;
return a ;
}
d = ex_gcd(b , a%b , x , y);
int t = x;
x = y ;
y = t - a/b*y;
return d ;
}
int CTM(){
int M = 1 , ans = 0 ;
rep(i , 1 , n){
M *= m[i];
}
rep(i , 1 , n){
int t = M/m[i];
d = ex_gcd(t , m[i] , x , y);
x = (x % (m[i]/d) + (m[i]/d)) % (m[i]/d) ;//求得x得最小正整数解
ans = (ans + a[i]*t*x)%M;//求和
}
return ans ;
}
三、解扩展中国剩余定理
同样是解一元线性同余方程组，只是不满足(m_1 , m_2 , ... , m_n)两两互质。
解法思想是两两方程合并。
现在演示合并前两个同余方程
转为线性方程有
1式减2式得
有解条件为(gcd(m_1, m_2)|a_i - a_2)
通过扩展欧几里得可以得到一组解((u_0 , v_0))
有通解(u = u_0 + frac{m_2}{gcd(m1,m2)}*k)（k为任意整数）
带入1式得
有合并后同余方程
int ex_gcd(int a , int b , int &x , int &y){
if(!b){
x = 1 ;
y = 0 ;
return a ;
}else{
int gcd = ex_gcd(b , a%b , x , y);
int t = x ;
x = y ;
y = t - a/b*y;
return gcd ;
}
}
int EX_CRT(){
for(int i = 2 ; i <= n ; i++){
int d = ex_gcd(m[1] , m[i] , x , y);
if((a[1] - a[i])%d){
return -1 ;
}
int mo = m[i]/d;
x = ((x * (a[1]-a[i])/d)%mo+mo)%mo ;
int lcm = m[1] / __gcd(m[1] , m[i]) * m[i];
a[1] = ((a[1]%lcm - m[1]%lcm * x % lcm ) % lcm + lcm) % lcm ;
m[1] = lcm;
}
return a[1];
}
素数筛
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