P2885 [USACO07NOV]电话线Telephone Wire——Chemist

题目：

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2885

由于把每一根电线杆增加多少高度不确定，所以很难直接通过某种方法算出答案，考虑动态规划。

状态：f [ i ] [ j ]表示当第i根电线杆的高度为j时的最小代价和。

转移：当前电线杆的高度只会影响它下一个电线杆的高度，所以就是用前一维的答案来更新后一维。在计算第i根电线杆和第i-1根电线杆时需要计算三部分答案：1.将第i根电线杆增加到j高度的代价 ( j - h [ i ])*(j - h [ i ] )。2.到第i-1根电线杆时的最小花费f [ i-1 ] [ k ]（由于我们并不知道第i-1根电线杆的高度，所以需要枚举第i-1根电线杆的高度k）3. 第i根电线杆到第i-1根电线杆之间电线的代价( j - k )*C

由此我们得到转移方程：f [ i ] [ j ] = ( j - h [ i ] )^2 + min( f [ i - 1 ] [ k ] + | j - k |*C )

然而这需要我们用三重循环枚举，时间复杂度是O( n*C*C )，会超时（好像有人用这个卡过了。。。）。

优化：

我们把绝对值拆开来可以得到一个分段函数：

f [ i ] [ j ] = ( j - h [ i ] )^2 + min( f [ i - 1 ] [ k ] + j * C - k * C)  ，j>=k

f [ i ] [ j ] = ( j - h [ i ] )^2 + min( f [ i - 1 ] [ k ] + k * C - j * C )  ，j < k

我们把 j * C从min中提出来，就变成了：

f [ i ] [ j ] = ( j - h [ i ] )^2 + j * C + min( f [ i - 1 ] [ k ] - k * C)  ，j>=k

f [ i ] [ j ] = ( j - h [ i ] )^2 - j * C + min( f [ i - 1 ] [ k ] + k * C )  ，j < k

我们可以发现，min里面的东西只与k和i有关而与j无关，所以我们可以在外层枚举i，在内层预处理出f [ i - 1 ] [ k ] - k * C的前缀最小值和f [ i - 1 ] [ k ] + k * C的后缀最小值，然后再枚举j，这是就可以直接O(1)调用min(...)了。

同时由于每一维的状态只与上一维有关且不需要记录答案，所以可以通过滚动数组来将空间复杂度进一步优化到O(C)。

代码：（注意赋初值等细节）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read()
{
    int ans=0;
    char ch=getchar(),last=' ';
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {last=ch;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {ans=ans*10+ch-'0';ch=getchar();}
    if(last=='-')ans=-ans;
    return ans;
}
const int M=1e5+10,inf=1e9+7;
int n,C,h[M],f[M][105],m;
//f[i][j]表示第i根电线杆的高度为j时的最小代价和
int l[105],r[105]; 
int main()
{
    n=read();C=read();
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=n;i++)
     h[i]=read(),m=max(m,h[i]);
    for(int i=h[1];i<=m;i++)
     f[1][i]=(i-h[1])*(i-h[1]);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        l[h[i-1]-1]=inf;
        r[m+1]=inf;
        for(int k=h[i-1];k<=m;k++)
         l[k]=min(l[k-1],f[i-1][k]-k*C);
        for(int k=m;k>=h[i];k--)
         r[k]=min(r[k+1],f[i-1][k]+k*C);
        for(int j=h[i-1];j<=m;j++)
         if(j>=h[i])f[i][j]=l[j]+(j-h[i])*(j-h[i])+C*j;    
        for(int j=m;j>=h[i];j--)
         f[i][j]=min(f[i][j],r[j]-C*j+(j-h[i])*(j-h[i]));
    }
    int ans=inf;
    for(int i=h[n];i<=m;i++)
     ans=min(ans,f[n][i]);
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}