Luogu P2051[AHOI2009]中国象棋【dp】By cellur925

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题目大意：给定一个$n*m$的棋盘，求放三个“炮”使它们不共行也不共列的方案数。（$n,m$$<=100$）

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这题主要是转移比较困难，因为情况比较多，所以需要冷静大胆细心地进行分情况讨论。

首先我们还是设计出状态：设$f[i][j][k]$表示前$i$行，放1枚棋子的有$j$列，放2枚棋子的有$k$列的方案数。

我们这样思考：放几个？放在哪？

• 在第$i$行不放棋子。显然我们可以由$f[i-1][j][k]$转移过来。

(f[i][j][k]+=f[i-1][j][k])%=moder;

• 在第$i$行放1个棋子。有两个位置可以选择（放1个棋子的列，没放过棋子的列）
  • 放在之前有一个棋子的列，那么有一个棋子的列数变少，有两个棋子的列数变多。那么我们回到之前的状态，可以从$f[i-1][j+1][k-1]$转移来，而根据容斥的思想，我们有$(j+1)$个列可供选择。

if(k-1>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1))%=moder;

• • 放在之前没有棋子的列，那么有一个棋子的列数变多，之前可转移来的状态是$f[i-1][j-1][k]$。同理，我们有$(m-(j-1)-k)$个位置可以选择。

if(j-1>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-k-j+1))%=moder;

• 在第$i$行放2个棋子。
  • 两个都放在不相同的没有棋子的列，那么有一个棋子的列数变多。之前可转移来的状态是$f[i-1][j-2][k]$。在空的列数中选2个，用到了组合数。

if(j-2>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C(m-k-j+2))%=moder;

• • 两个都放在不相同的已有一个棋子的列，那么有一个棋子的列数变少，有两个棋子的列数变多。之前可转移来的状态是$f[i-1][j+2][k-2]$。同样要用到组合数。

if(k-2>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C(j+2))%=moder;

• • 两个棋子，一个放在已有一个棋子的列，一个放在没有棋子的列，那么有一个棋子的列数减一再加一相当于没变，有两个棋子的列数增多。并运用乘法原理。

if(k-1>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j*(m-j-k+1))%=moder;

列出了转移方程，我们的代码也就写完了（雾）。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll moder=9999973;

int n,m;
ll ans,f[105][105][105];

ll C(int x)
{
    return (x*(x-1))>>1;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    f[0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            for(int k=0;k<=m-j;k++)
            {
                (f[i][j][k]+=f[i-1][j][k])%=moder;
                if(k-1>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1))%=moder;
                if(j-1>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-k-j+1))%=moder;
                if(k-1>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j*(m-j-k+1))%=moder;
                if(k-2>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C(j+2))%=moder;
                if(j-2>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C(m-k-j+2))%=moder;
            }
    for(int j=0;j<=m;j++)
        for(int k=0;k<=m-j;k++)
            (ans+=f[n][j][k])%=moder;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

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转移的时候我竟然想，为什么没有“两个棋子放在同一个之前没放到的列”这种情况。后来才意识到，我们每次面对的，是一行，其实是一个向量，（一维数组）。每一列只能放一颗棋子...

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