[NOI2013] 向量内积

注意：本文中的一切数字即数字运算均在(k)的同余系内（即(xleftarrow xmod k)），*只用于表示向量点积。

暴力的算法是，从小到大枚举向量(A[x])，判定(A[1])到(A[x-1])中是否存在与(A[x])点积为(0)的向量：若存在，暴力搜索答案；否则枚举下一个向量(A[x+1])。

算法的瓶颈在于“判定”这一部分，即计算(sum_{y<x}sigma(A[y]*A[x] ot=0))是否等于(x-1)。^[1]

当(k=2)时因为(sigma(w ot=0)=w)，所以只需判定下式值为(x-1)即可

[sum_{y<x}A[x]*A[y]=A[x]*sum_{y<x}A[y] ]

然后是(k=3)的情况，这时因为(sigma(w ot=0)=w^2)，所以只需判定下式值为(x-1)即可

[sum_{y<x}(A[x]*A[y])^2 =sum_{y<x}(sum_iA[x,i]A[y,i])^2=sum_{y<x}sum_{i}A[x,i]A[y,i]sum_jA[x,j]A[y,j]\ =sum_isum_jA[x,i]A[x,j]sum_{y<x}A[y,i]A[y,j] ]

两种情况的式子都化简到了能快速处理的形式。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m,K,id[100001];
int a[100001][101],b[101],c[101][101];

int solve(int x) {
	int tot=0;
	if(K==2) 
		for(int i=1; i<=m; b[i]^=a[x][i],i++) tot^=b[i]&a[x][i];
	else 
		for(int i=1; i<=m; ++i) 
		for(int j=1; j<=m; c[i][j]+=a[x][i]*a[x][j],++j) 
			tot+=c[i][j]*a[x][i]*a[x][j];
	return tot%K;
}
bool check(int x,int y) {
	int tot=0;
	for(int i=1; i<=m; ++i) tot+=a[x][i]*a[y][i];
	return tot%K==0;
}

int main() {
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
	for(int i=1; i<=n; ++i) 
	for(int j=1; j<=m; ++j) 
		scanf("%d",&a[i][j]),a[i][j]%=K;
	for(int i=1; i<=n; ++i) id[i]=i;
	for(int OVO=5; OVO--; ) {
		random_shuffle(id+1,id+n+1);
		K==2?memset(b,0,sizeof b):memset(c,0,sizeof b);
		for(int i=1; i<=n; ++i) if(solve(id[i])!=(i-1)%K) 
		for(int j=1; j<i; ++j) if(check(id[i],id[j])) {
			if(id[i]>id[j]) swap(id[i],id[j]);
			printf("%d %d
",id[i],id[j]);
			return 0;
		}
	}
	puts("-1 -1");
	return 0;
}

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1. 这一定正确吗？拿衣服 当然不。注意此时的式子实际上是(sumdotsequiv x-1pmod k)这样，所以这样判断是存在错判概率的。一个解决办法是把向量顺序打乱多做几次。 ↩︎