对给定序列({a_{0,1,2,cdots}}) 构造一个函数(F(x)=sum_{i=0,1,2,cdots}a_if_i(x))，称(F(x))为序列({a_{0,1,2,cdots}})的生成函数。其中，序列({f_{0,1,2,cdots}(x)})只作为标志用，称为标志函数。
普通型生成函数(OGF)
当标志函数为({x^{0,1,2,cdots}})时，即生成函数为(F(x)=sum_{i=0}^{+infty}a_ix^i)，称这类生成函数为普通型生成函数，可记作(G(x))。
卷积
OGF: (F(x),G(x)) 的卷积(F(x)*G(x)=sum_{i=0}^{+infty} (sum_{j=0}^i a[j]*b[i-j]) x^i)。
定理
设从(n)元集合(S={a_{1,2,cdots,n}})中取(1,2,cdots)个元素组合，若限定元素(a_i)出现次数的集合为(M_i (1le ile n))，则该组合数序列的生成函数为:
[prod_{i=1}^n(sum_{xin M_i}x^m)
]
常用到的普通型生成函数有：
[egin{aligned}
&frac{1}{1-x}&&=1+x+x^2+x^3+cdots\
&(frac{1}{1-x})^2&&=1+2x+3x^2+4x^3+cdots\
&(frac{1}{1-x})^n &&=1+nx+frac{n(n+1)}{2!}x^2+frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3+cdots
end{aligned}
]
例题
求(n)位十进制正数中出现偶数个(5)的数的个数。
设(a_i)表示(i)位十进制正数中出现偶数个(5)的数的个数，(b_i)表示(i)位十进制正数中出现奇数个(5)的数的个数，不难得出：
[left.
egin{aligned}
a_n&=9a_{n-1}+b_{n-1}\
b_n&=9b_{n-1}+a_{n-1}\
a_1&=8\
b_1&=1
end{aligned}
ight}(0)
Rightarrow
left.
egin{aligned}
a_n-9a_{n-1}-b_{n-1}=0\
b_n-9b_{n-1}+a_{n-1}=0\
end{aligned}
ight}
]
设序列({a_n})，({b_n})的生成函数分别为：
[egin{align}
A(x)&=a_1+a_2x+a_3x^2+cdots &&(1)\
B(x)&=b_1+b_2x+b_3x^2+cdots &&(2)
end{align}
]
由(-9x*(1)-x*(2)+(1))得：
[(1-9x)A(x)-xB(x)=a_1=8qquad(3)
]
再由(-x*(1)-9x*(2)+(2))得：
[(1-9x)B(x)-xA(x)=b_1=1qquad(4)
]
由((3))、((4))可得：
[left.
egin{aligned}
A(x)&=frac{-71x+8}{(1-8x)(1-10x)}\
B(x)&=frac{1-x}{(1-8x)(1-10x)}
end{aligned}
ight}
]
更进一步的，
[egin{aligned}
A(x)=frac{7/2}{1-8x}+frac{9/2}{1-10x}=frac{1}{2}*(7*sum_{n=0}^{+infty}(8x)^n+9*sum_{n=0}^{+infty}(10x)^n)
end{aligned}
]
即:
[a_x=frac{7}{2}*8^{x-1}+frac{9}{2}*10^{x-1}
]
指数型生成函数(EGF)
当标志函数为({dfrac{x^i}{i!} | i=0,1,2,cdots})时，即生成函数为(F(x)=sum_{i=0}^{+infty} a_i(dfrac{x^i}{i!}))，称此类生成函数为指数型生成函数，可记作(G_e(x))。
卷积
EGF: (F(x),G(x)) 的卷积(F(x)*G(x)=sum_{i=0}^{+infty} (sum_{j=0}^i egin{pmatrix}i\jend{pmatrix} a[j]*b[i-j]) dfrac{x^i}{i!})。
定理
从多重集(M={infty*a_1,infty*a_2,infty*a_3,cdots,infty*a_n})中选区(1,2,3,cdots)个元素排列，若元素(a_i)出现的次数集合为(M_i (1le ile n))，则该排列数序列的生成函数为：
[prod_{i=1}^n(sum_{min M_i}dfrac{x^m}{m!})
]
所谓多重集（multiset）之于集合（set），英文写出来差不多就懂了。函数(dfrac{x^m}{m!})中，除以(m!)是因为排列中这(m)个相同元素的先后是不考虑的。
常见的指数型生成函数（(e^x)的Tylor展开式）：
[egin{aligned}
&e^x &&=sum_{n=0}^{+infty}frac{x^n}{n!} &&=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+cdots \
&e^{kx} (k
ot=0)&&=sum_{n=0}^{+infty}frac{(kx)^n}{n!} &&=1+kx+frac{(kx)^2}{2!}+frac{(kx)^3}{3!}+cdots \
&(e^x+e^{-x})/2 &&=sum_{n=0}^{+infty}frac{x^{2n}}{(2n)!} &&=1+frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}+frac{x^6}{6!}cdots \
&(e^x-e^{-x})/2 &&=sum_{n=0}^{+infty}frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &&=x+frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}+frac{x^7}{7!}cdots
end{aligned}
]
例题
求由(1,3,5,7,9)这(5)个数字组成的(n)位数字的个数（每个数字出现次数可以为(0)，且(3,7)出现的次数为偶数）。
设满足条件的(r)位数字的数目为(a_r)（特别地，规定(a_0=1)），则序列(a_0,a_1,a_2,cdots)的生成函数为：
[G_e(x)=(1+frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}+cdots)^2(1+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+frac{x^4}{4!}cdots)^3 \
ecausequad
left{egin{aligned}
&(e^x+e^{-x})/2 &&=1+frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}+cdots\
&e^x &&=1+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+frac{x^4}{4!}cdots
end{aligned}
ight.\
egin{aligned}
hereforequad G_e(x)
&=frac{1}{4}(e^x+e^{-x})^2e^{3x}\
&=frac{1}{4}(e^{5x}+2e^{3x}+e^x)\
&=frac{1}{4}sum_{n=0}^{+infty}(5^n+2*3^n+1)*frac{x^n}{n!}
end{aligned}
]
故(a_n=frac{1}{4}(5^n+2*3^n+1))。
与多项式的结合应用 洛谷5162
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