二十世纪最有影响力的十大算法之一： 蒙特卡洛方法

 http://www.uta.edu/faculty/rcli/TopTen/topten.pdf

 

from SIAM News, Volume 33, Number 4

The Best of the 20th Century: Editors Name Top 10 Algorithms
By Barry A. Cipra

 

第一部分：算法介绍

 [1946: John von Neumann, Stan Ulam, and Nick Metropolis, all at the Los Alamos Scientific Laboratory, cook up the Metropolis algorithm, also known as the Monte Carlo method.]1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis共同发明，被称为蒙特卡洛方法。它的具体定义是：在广场上画一个边长一米的正方形，在正方形内部随意用粉笔画一个不规则的形状，现在要计算这个不规则图形的面积，怎么计算列?蒙特卡洛(Monte Carlo)方法告诉我们，均匀的向该正方形内撒N（N 是一个很大的自然数）个黄豆，随后数数有多少个黄豆在这个不规则几何形状内部，比如说有M个，那么，这个奇怪形状的面积便近似于M/N，N越大，算出来的值便越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。(撒黄豆只是一个比喻。)

第二部分：算法特点

 

蒙特卡洛方法的伟大之处，在于对精确性问题无法解决的时候，利用“模拟”的思想来求解。 在各个领域得以应用。本质是模拟（simulation）： 利用大量随机输入，产生各种输出；结果的概率分布就是真实分布的“近似”。所以，输入的分布是否随机（目前计算机所能做的就是伪随机，并不能产生真正的随机分布），这个过程我们成为Sampling Random Variables。 

第三部分：应用和实践

 实践：计算机圆周率

蒙特卡洛方法可以用于产生接近pi的近似值。下图显示了一个带有1/4圆在内的正方形单元、落在圈内（红点）的点和总的投在正方形（红和绿点）上的点的比率为：pi/4。这一过程称为使用蒙特卡洛方法来仿真逼近pi实际值。

java实现：

import java.util.Random;
public class PiSimulation {
 
 private static Random rnd = new Random();
 public static void main(String args[])
 {
  //simulate pi
  int iter = 10000*10000;//0.1billion
  int totalIn = 0;
  for(int i=0;i<iter;i++)
  {
   double x = rnd.nextDouble();
   double y = rnd.nextDouble();
   if(inCircle(x, y))
    totalIn++;
  }
  System.out.println("simulate pi:"+((double)totalIn/iter*4));
 
 }
 
 public static boolean inCircle(double x,double y)//是否在1/4圆范围之内
 {
  if((x*x+y*y)<=1)
   return true;
  return false;
 }
}

simulate pi:3.14143168

虽然针对pi而言，可能还不精确，但这是一种解决思路。当面对一个无从下手的问题，可行的解决思路都是一种突破。

实践：在金融领域的应用

用随机过程理论进行理论建模，在必要时使用Monte Carlo方法对模型做数值模拟。比如预测未来收益和走势，当然这是非常粗浅的解释，更为详细的请阅读下面的文献，是经典之作，

当然，一个复杂的问题不可能依靠一个蒙特卡洛模拟就解决，需要大量的其他方法：比如随机过程、机器学习相关方法、博弈论涉及的方法等综合应用。

实践：模拟彩虹 

To simulate the generation of a rainbow using a probability experiment employing the Monte Carlo technique采用蒙特卡洛技术基于概率模型来模拟彩虹产生过程。

 http://www.mathdemos.org/mathdemos/MCRain/MCRain.html

第四部分：引用文献

1. http://www.lancaster.ac.uk/pg/jamest/Group/intro3.html
2. http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6127953
3. http://www.uta.edu/faculty/rcli/TopTen/topten.pdf
4. http://introcs.cs.princeton.edu/java/stdlib/StdDraw.java
5. http://www.rebeccapaton.net/rainbows/index.htm
6. https://www.google.com/books?hl=zh-CN&lr=&id=aeAlBQAAQBAJ&oi=fnd&pg=PA1&ots=kLHdCmPN0q&sig=mBRJajxxDienFBZeSQHN0Rz6q1A#v=onepage&q&f=false

当然，还有更多的蒙特卡洛的应用，以后随着时间积累将不断补充。