[question]：给定整数(A_1,A_2,A_3,...,A_N)(可能有负数)，求(sum_{k=i}^{j}A_k)的最大值（方便起见，若所有整数为负数，则最大序列和为0）
//例如：输入(-2,11,-4,13,-5,-2),答案为(20)(从(A_2)到(A_4))
解法①：穷举法
外两层循环遍历数组，确定序列上下界。最内层循环遍历序列求和。
1 /* 2 * maxSubSum1:解法①，穷举法 3 * 输入数组a 4 * 返回最大子序列和 5 */ 6 int maxSubSum1( const vector<int> &a ) 7 { 8 int maxSum = 0;//存储结果 9 10 for (int i = 0; i < a.size(); i++) 11 for (int j = i; j < a.size(); j++) 12 { 13 int thisSum = 0; 14 15 for (int k = i; k <= j; k++) 16 thisSum += a[k]; 17 18 if (thisSum > maxSum) 19 { 20 maxSum = thisSum; 21 } 22 } 23 24 return maxSum; 25 }
显然，此方法时间复杂度为(O(N^3))，并没有什么实际意义，(N)取较大值时算法效果很差。
解法②：改进穷举法
第二层每次循环顺便求出子序列值，并判断结果，取消第三层循环。
1 /* 2 * maxSubSum2:解法②，改进穷举法 3 * 输入数组a 4 * 返回最大子序列和 5 */ 6 int maxSubSum2( const vector<int> &a ) 7 { 8 int maxSum = 0;//存储结果 9 10 for (int i = 0; i < a.size(); i++) 11 { 12 int thisSum = 0; 13 14 for (int j = i; j < a.size(); j++) 15 { 16 thisSum += a[j]; 17 18 if (thisSum > maxSum) 19 maxSum = thisSum; 20 } 21 } 22 23 return maxSum; 24 }
显然，此方法时间复杂度为(O(N^2))，在穷举法的基础上稍作改进，(N)取较大值时算法效果仍然很差。
解法③：分治策略
将原问题分成两个大致相等的子问题，然后递归的对他们求解。最大子序列可能出现的地方：输入数据的左半部，输入数据的右半部，跨越数据中部占据左右两半部分。
1 /* 2 * max3:递归函数 3 * 输入数组a,递归下界，递归上界 4 * 返回一次递归最大子序列和 5 */ 6 int maxSumRec(const vector<int> &a, int left, int right) 7 { 8 if (left == right)//基准情况 9 { 10 if (a[left] > 0)//只有一个元素时返回其值（元素全为负时返回0） 11 return a[left]; 12 else 13 return 0; 14 } 15 16 int center = (left + right) / 2; 17 int maxLeftSum = maxSumRec(a, left, center); 18 int maxRightSum = maxSumRec(a, center + 1, right); 19 20 int maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0; 21 for (int i = center; i >= left; i--) 22 { 23 leftBorderSum += a[i]; 24 if (leftBorderSum > maxLeftBorderSum) 25 maxLeftBorderSum = leftBorderSum; 26 }//前半部分最大子序列和 27 28 int maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0; 29 for (int j = center + 1; j <= right; j++) 30 { 31 rightBorderSum += a[j]; 32 if (rightBorderSum > maxRightBorderSum) 33 maxRightBorderSum = rightBorderSum; 34 }//后半部分最大子序列和 35 36 return max3(maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum);//max3为求三个整型数的最大值函数 37 } 38 39 /* 40 * maxSubSum3:解法③，分治策略 41 * 输入数组a 42 * 返回最大子序列和 43 */ 44 int maxSubSum3( const vector<int> &a ) 45 { 46 return maxSumRec(a,0,a.size() - 1); 47 }
由于使用了递归，且递归函数内使用了一层循环，所以算法时间复杂度为(O(Nlog_2N))。此时已经为较理想的结果。
解法④：终极方法
再次改进穷举法，显然我们可以推出一个结论，如果(a[i])是负的，那么它不可能代表最优序列的起点，因为任何包含(a[i])的作为起点的子序列都可以通过用(a[i+1])做起点而得到改进。类似地，任何负的
子序列不可能是最优子序列的前缀。如果在内循环中检测到(a[i])到(a[j])的子序列是负的，那么我们可以推进(i)。关键结论是：我们不仅可以把(i)推进到(i+1)，而且我们实际上还可以把它一直推进到(j+1)。为了证明，我们由前面的结论知道(a[i])是非负的，其次(j)是使从下标(i)开始使序列和为负的第一个下标，令(p)为(i+1)到(j)之间的任一下标，那么从下标(i)到(j)中，序列(a[i]...a[p-1])的和始终大于序列(a[p]...a[j])的和。因此把(i)推进到(j+1)是安全的，我们不会错过最优解。
1 /* 2 * maxSubSum4:解法④，终极方法 3 * 输入数组a 4 * 返回最大子序列和 5 */ 6 int maxSubSum4( const vector<int> &a ) 7 { 8 int maxSum = 0, thisSum = 0; 9 10 for (int j = 0; j < a.size(); j++) 11 { 12 thisSum += a[j]; 13 14 if (thisSum > maxSum) 15 maxSum = thisSum; 16 else if (thisSum < 0)//关键步骤:推进到j+1(使序列和小于0下标j) 17 thisSum = 0; 18 else 19 continue; 20 } 21 22 return maxSum; 23 }
显然，算法的时间复杂度为(O(N))，并且只对数据一次扫描，一旦(a[i])被读入并处理，它就不需要被记忆，因此仅需常量空间并以线性时间运行的联机算法。
总结:要善于思考问题的结构，仔细研究数据的结构寻找最优解法。没有思路时也可以先写出最笨的方法，然后逐步改进。
参考：数据结构与算法分析（c++描述）.第三版.【美】Mark Allen Weiss.人民邮电出版社
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