数学史上一共爆发了三次数学危机：
第一次：无理数的发现。
在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派认为自然界的任何数都可以由整数或整数之比表示，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但此学派的一个人发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
第二次：无穷小是零吗？
在18世纪，微积分蓬勃发展，广泛应用。但此时一位大哲理学家指出应用无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。之后经过柯西等老前辈的完善，基本解决了矛盾。
第三次：悖论的出现。
在19世纪，集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。其中最出名的一条悖论是“我所说的话是谎话”，仔细想一想，确实很纠结，就是个无限循环。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。