算法导论14.1节习题解答

算法导论习题解答系列停了一年了，现在重新拾起，好多算法已经忘了，有的记得大概，但是真正的用代码实现却很难下手。

CLRS 14.1-3 写出OS-SELECT的非递归形式
一般递归形式改写为非递归形式要用到while，有时还要用到栈结构。

OS-SELECT(x, i)
{
  r = size[left[x]] + 1;
  while (r != i)
  {
    if (i < r)
    {
      x = left[x];
      r = size[left[x]] + 1;
    }
    else
    {
      x = right[x];
      i = i -r;
      r = size[left[x]] + 1;
    }
  }
  return x;
}

CLRS 14.1-4 写出一个递归过程OS-KEY-RANK(T, k)

int OS-KEY-RANK(T, k)
{
  if (k == key[root[T]])
    return size[left[root[T]]] + 1;
  else if (k < key[root[T]])
    return OS-KEY-RANK(left[root[T]], k);
  else
    return OS-KEY-RANK(right[root[T]], k) + size[left[root[T]]] + 1;
}

CLRS 14.1-5 确定元素x的第i个后继，时间为lg(n)

GET-SUCCESSOR(T, x, i)
{
  r = OS-RANK(T, x);
    return OS-SELECT(root[T], r + i);
}

CLRS 14.1-6
在这题中，将每个结点的秩存于该结点自身之中，这个秩是相对于以该结点为根的子树而言的。
因而在插入结点x时，对于从root到x结点的路经上的所有结点y，如果插入路经经过y的左支，则rank[y]的值加1，若经过其右支，则rank[y]的值不变。
在删除结点x时，对于从root到x结点的路经上的所有结点y，如果删除路经经过y的左支，则rank[y]的值减1，若经过其右支，则rank[y]的值不变。

如图，在进行右旋转时，x的秩是不变的，node的秩变为rank[node]减去原来的rank[x]。左旋同理。

CLRS 14.1-7 利用顺序统计树在O(nlgn)的时间内统计逆序对
在习题2-4中，其要求用归并排序来计算逆序对，见算法导论2-4习题解答(合并排序算法)
在这里，我们对于数组{2，3，8，6，1}这样分析，对于每个数，选取其前面的数与其比较，
对于6，与其对比的为2，3，8，逆序对有1对，记作inversion_count，
6在原数组的索引为3，记作j，
然后我们来分析子数组{2,3,8,6}，6在其中的排名为3，记作rank_j;
再通过分析其他数，我们归纳如下：
inversion_count = j + 1 - rank_j
当把每个结点插入顺序统计树时，我们可以知道j的值，同时调用OS-RANK来得到rank_j，从而得到inversion_count，在这里，每插入一次，就计算一次。
由于插入和OS-RANK都是lg(n)，故n个结点即为n*lg(n)。

CLRS 14.1-8 现有一个圆上的n条弦，每条弦都按其端点来定义，请给出一个能在O(n*lgn)时间内确定圆内相交弦的对数的算法，假设任意两条弦都不会共享端点。

参考自http://topic.csdn.net/u/20081119/17/397cc718-f4dc-4570-9991-aee57dd73416.html

如图，对于两条弦P1Q1和P3Q3来说，圆心与端点形成的向量有一个角度A

如果A(P1)<A(P3)<A(Q1)<A(Q3)或者A(P3)<A(P1)<A(Q3)<A(Q1)，这样角度区间“交叉”就意味着两条弦有交叉。

 

由于有n条弦，故有2n个端点，每个端点的取值范围为[0, 2*π)，对这2n个端点按角度值进行从小到大排序，排序的时间复杂度为O(n*lgn)，所得数组为A[1...2n]

然后建立一个顺序统计树，起先为空，先插入A[1]，它为一条弦的起始端点，然后遇到其他弦的起始端点就插入，当遇到一条弦的终端点时，就统计在该树中大于该弦的起始端点角度值的端点个数，之后就从树中删除该弦的两个端点。

如图，先插入P1，再插入P2，再插入P3，再插入P4，再插入Q4，Q4为弦P4Q4的终端店，故停止插入，开始统计树中大于P4角度值的端点个数，为0，然后删除P4与Q4。

再插入Q2，为终端点，统计此时树中大于P2端点值的个数，为1个，然后删除P2与Q2。

再插入Q1，为终端点，统计此时树中大于P1端点值的个数，为1个，然后删除P1与Q1。

再插入Q3，为终端点，统计此时树中大于P3端点值的个数，为0个，然后删除P3与Q3。

结束，统计结果一共为2，与图中相符。

在这里，要用到顺序统计树的插入、删除操作，以及OS-RANK函数。每个操作都为O(lgn)的时间复杂度，有2n个结点，故时间复杂度仍是O(n*lgn)。