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题目描述
在一个由 '0' 和 '1' 组成的二维矩阵内，找到只包含 '1' 的最大正方形，并返回其面积。
示例 1：
输入：matrix = [["1","0","1","0","0"],["1","0","1","1","1"],["1","1","1","1","1"],["1","0","0","1","0"]]
输出：4
示例 2：
输入：matrix = [["0","1"],["1","0"]]
输出：1
示例 3：
输入：matrix = [["0"]]
输出：0
题目分析
可以使用动态规划降低时间复杂度。我们用 dp(i,j) 表示以 (i,j) 为右下角，且只包含 1 的正方形的边长最大值。
如果我们能计算出所有 dp(i,j) 的值，那么其中的最大值即为矩阵中只包含 1 的正方形的边长最大值，其平方即为最大正方形的面积。
那么如何计算 dp 中的每个元素值呢？对于每个位置 (i,j)，检查在矩阵中该位置的值：
如果该位置的值是 0，则 dp(i,j)=0，因为当前位置不可能在由 1 组成的正方形中；
如果该位置的值是 1，则 dp(i,j) 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 dp 值决定。
具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加 1，状态转移方程如下：
dp(i,j)=min(dp(i−1,j), dp(i−1,j−1), dp(i,j−1)) + 1
如果读者对这个状态转移方程感到不解，可以参考 1277. 统计全为 1 的正方形子矩阵的官方题解，其中给出了详细的证明。
此外，还需要考虑边界条件。如果 i 和 j 中至少有一个为 0，则以位置 (i,j) 为右下角的最大正方形的边长只能是 1，因此 dp(i,j)=1。
代码
class Solution {
public:
int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
int maxSide = 0;
for(int i = 0; i < m; i++){
for(int j = 0; j < n; j++){
if(matrix[i][j] == '1'){
if(i == 0 || j == 0){
dp[i][j] = 1;
} else {
dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], min(dp[i][j-1], dp[i-1][j])) + 1;
}
maxSide = max(maxSide, dp[i][j]);
}
}
}
return maxSide*maxSide;
}
};