leetcode—triangle

1.题目描述

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]
The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

2.解法分析

此题最简单的想法就是一个深度搜索，将所有可能的路径全部找出来，比较它们的和，于是有了如下的代码：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        // Start typing your C/C++ solution below
        // DO NOT write int main() function
        //by areslipan@163.com
        int minTotal= 0;

        for(int i = 0;i<triangle.size();++i)
        {
            minTotal+=triangle[i][0];
        }
        triangleHeight = triangle.size();
        int depth = 1;
        int curSum = 0;

        minnum(triangle,minTotal,1,0,curSum);

        return minTotal;

    }

    void minnum(vector<vector<int>> &triangle,int & minTotal,int depth,int loc,int &curSum)
    {

        curSum+=triangle[depth-1][loc];
        if(depth == triangleHeight)
        {
            minTotal = minTotal<curSum?minTotal:curSum;return;
        }

        minnum(triangle,minTotal,depth+1,loc,curSum);
        curSum -= triangle[depth][loc];
        minnum(triangle,minTotal,depth+1,loc+1,curSum);
        curSum -= triangle[depth][loc+1];
    }
     private:
    int triangleHeight;

};

在小数据集上运行良好,但是大数据集上就不行了,归根结底,深度遍历一方面有重复计算,一方面有递归消耗,再加上是个O(N²)的算法，必定会很慢，不过深度遍历的算法很直观，可以作为进一步分析的基础。既然知道深度搜索不行，那么该怎么办呢，我们发现，其实这个三角是有很强的最优子结构的，分析如下：

如果最短路径通过第i层（最上一层为0层，第一个元素标号为0）的第j个元素，那么必然有最短路径通过第i层的第j-1或者第j个元素，这种二选一的情形是由题意限定的，对于每一层的首尾需特殊处理，如果最短路径通过i层的首尾元素，说明最优路径在上一层的节点已经确定。于是，若已知截止于第i-1层的各个元素的最短路径和SUM_i-1(SUM为长度为i的数组），那么截止于第i层的最短路径和SUM_i的每个元素可以按照如下公式计算：

• SUM_i[j] = min(SUM_i-1[j-1],SUM_i-1[j]) +triangle[i][j]      若 j>0且j<i
• SUM_i[0] = SUM_i-1[0]+triangle[0][0];
• SUM_i[i]  =SUM_i-1[i-1] +triangle[i][i];

于是有了以下的代码：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        // Start typing your C/C++ solution below
        // DO NOT write int main() function
        //areslipan@163.com

        int triangleHeight = triangle.size();
        if(triangleHeight==0)return 0;

        //申请一个长度为n的辅助空间，作为动态规划的备忘表
        //备忘表被循环利用，第i个循环中只有前i个元素有意义，存放的是遍历到第i层的最佳路径对应的最小值
        vector<int> mmtTable;
        mmtTable.assign(triangleHeight,0);
        mmtTable[0]= triangle[0][0];

        int tmp = 0;
        for(int i = 1;i<triangleHeight;++i)
        {
            //特殊处理每一层的第一个元素,因为第一个元素的上一个节点一定是上一层的第一个元素
            int cur = mmtTable[0];
            mmtTable[0] = cur + triangle[i][0];

            //第i层的中间节点j可能上一层节点是第i-1层的j-1和j个节点
            for(int j=1;j<i;++j)
            {
                tmp = mmtTable[j];
                mmtTable[j] = min(cur,mmtTable[j])+triangle[i][j];
                cur = tmp;
            }

            //特殊处理每一层的最后一个元素，因为最后一个元素的上一个节点一定是上一层的最后一个元素
            mmtTable[i] = cur+triangle[i][i];
        }

        vector<int>::iterator iter;
        int minTotal = mmtTable[0];
        for(iter = mmtTable.begin();iter!=mmtTable.end();++iter)
        {
            if((*iter)<minTotal)minTotal = *iter;
        }

        return minTotal;


    }
};