最小生成树

1.概念

最小生成树针对的对象是无向连通帯权图，目的是生成一棵总权重最小的连通图，因为最小的连通图一定是树，那么实际上找到的一定是一棵最小权重的树，称之为最小生成树。

2.算法标签

贪心，根据贪心策略的不同，当贪心的是边的时候，为Kruskal算法，当贪心的是点的时候，为Prim算法

3.最小生成树的形成

• 安全边的概念
  最小生成树肯定存在，有可能不止一棵，若A是某一棵最小生成树的子集，如果加入一条边（u,v)之后，A’=A+(u,v)仍然是某一棵最小生成树的子集，则认为边（u,v）是安全边。
• 轻边的概念
  轻是最小权值的意思，对于一个无向有权图G=(V, E)，对于图G的一个割（S,V-S)，在穿过割的所有边中选取权值最小的边，称之为“轻边”
• 不妨害的概念
  若边集A中的每一条边都不穿过割，认为割（S,V-S)不妨害A
• 安全边规则
  若G = (V, E )是一个无向带权连通图，设A是E的一个子集，且它是某棵最小生成树的子集，对于图的一个不妨害A的分割(S,V-S)，它的轻边就是对集合A来说安全的，这个可以用剪切-粘贴方法证明，实际上就是反证法。
• 最小生成树性质
  若G = (V,E）是一个无向带权连通图，A是某棵最小生成树的一个子集，因此G_A(V,A)是一个森林，设C(V_c,E_c)是这个森林的一个连通子集，那么该连通子集到森林中其他分支的轻边对于A来说就是安全的，这个是最小生成树两个贪心算法的理论基础。

4.Prim算法与Kruskal算法

二者本质上都是利用上述最小生成树性质进行的贪心操作，具体二者的步骤在这个博客里面讲的很清楚，我只讲这两者的区别：

• Prim算法每次选取一条安全边，选取的安全边加入到已选取的边集之中，这些边集构成了一个完整的连通图，而不是森林，当所有顶点都被加入时，算法结束
• Kruskal也是每次选取一条安全边，但是在最小生成树生成之前，选到的边集可能构成的只是一个个连通图构成的森林而已，当只剩下一个连通图时，算法结束

5.代码实现

网上有好多代码。