题目描述:
假设有n根柱子,现要按下述规则在这n根柱子中依次放入编号为1,2,3,...的球。
(1)每次只能在某根柱子的最上面放球。
(2)在同一根柱子中,任何2个相邻球的编号之和为完全平方数。
试设计一个算法,计算出在n根柱子上最多能放多少个球。例如,在4 根柱子上最多可放11 个球。
«编程任务:
对于给定的n,计算在n根柱子上最多能放多少个球以及放球的方案。
解法:
我们要求的是n根柱子最多能串起来多少个球(编号连续),即为最小路径覆盖问题,由于一个球不能放在两个柱子上,所以是最小不相交路径覆盖。
这题为给定路径数,求能被覆盖的点数最多有多少。求最小路径覆盖可以用二分图来解决。见https://www.cnblogs.com/obob/p/9642644.html
这题由于解题思路是逐个增加球数,然后看是否可行,不能每次都重新建图,那时间肯定炸了。所以做法是每次新加一个球之后,以这个球为起点跑增广路,如果这个点能找到匹配点,那就不用加柱子,不然加柱子。
我的二分图是用网络流写的(毕竟这是网络流24题)
代码:
//最大流Dinic算法 //m为边数,n为点数 //复杂度O(m*n*n) #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 5005 #define M 200005 int INF = 0x3f3f3f3f; int dep[N],head[N]; int to[N];//当前弧优化 struct Edge{ int to,next,w; }edge[M<<1]; int cnt = 0; //edge[i] 的反向边为 dege[i^1] int s,t;//s->源,t->汇 void ad(int x,int y,int w){ edge[cnt].to = y,edge[cnt].next = head[x],edge[cnt].w = w,head[x] = cnt++; edge[cnt].to = x,edge[cnt].next = head[y],edge[cnt].w = 0,head[y] = cnt++; } bool D_bfs(){ memset(dep,0,sizeof(dep)); memset(to,0,sizeof(to)); dep[s] = 1; queue<int> Q; while(!Q.empty()) Q.pop(); Q.push(s); while(!Q.empty()){ int u = Q.front(); Q.pop(); for(int i = head[u];i != -1;i = edge[i].next){ int v = edge[i].to; if(edge[i].w > 0 && !dep[v]){ dep[v] = dep[u] + 1; Q.push(v); } } } if(dep[t]) return 1; return 0; } int D_dfs(int u,int now){ if(u == t) return now; int beg = to[u] ? to[u] : head[u]; for(int i = beg;i != -1;i = edge[i].next){ int v = edge[i].to; if(dep[v] == dep[u] + 1 && edge[i].w > 0){ int di = D_dfs(v,min(now,edge[i].w)); if(di == 0) continue; edge[i].w -= di; edge[i^1].w += di; if(edge[i].w) to[u] = i; else to[u] = edge[i].next; return di; } } return 0; } int Dinic(){ int sum = 0,flow; while(D_bfs()){ while((flow = D_dfs(s,INF))) sum += flow; } return sum; } void init(){ memset(head,-1,sizeof(head)); cnt = 0; } bool vis[5005]; void print(int now){ vis[now] = 1; for(int i = head[now<<1];i != -1;i = edge[i].next){ if(edge[i].w == 0 && edge[i].to != 1){ printf("%d ",now); print(edge[i].to>>1); return; } } printf("%d\n",now); } int main() { init(); int n; s = 1,t = 5000; cin >> n; int ball = 0; int now = 0; while(now <= n){ ++ball; ad(s,ball<<1,1); for(int i = 1;i < ball;++i){ int tmp = sqrt(ball+i); if(tmp*tmp == ball + i) ad(i<<1,ball<<1|1,1); } ad(ball<<1|1,t,1); if(!Dinic()) now++; } cout << ball - 1 << endl; for(int i = 1;i <= ball-1;++i){ if(!vis[i]){ print(i); } } return 0; }