背包问题

背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V？它是在1978年由Merkel和Hellman提出的。

在背包问题里，有很著名的《背包九讲》来帮助我们理解背包问题。

下载：《背包九讲》

• 01背包问题
• 完全背包问题
• 多重背包问题

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01背包问题

条件：

• 背包大小V
• 物品件数n(每个物体只有1个)
• 第i个物品的花费c[i]
• 第i个物品的价值w[i]

即在保证花费和不超过V的情况下，尽可能让价值最大(有的题目中花费就是价值)

用dp[i][j]表示前i个物品在最大体积为j的情况下的最大价值(所求答案为dp[n][V])

对于第i个物品，我们可以选择“选”( dp[i-1][ j-c[i] ] + w[i] )或“不选”(dp[i-1][ j ])

有dp[i][j] = max{ dp[i-1][j] , dp[i-1][j - c[i]] + w[i] }

当从i=1开始循环时，在计算dp[i][]时，dp[i-1][]已经计算过了，因此我们可以算出所有的值

同时，可以发现我们计算dp[i][j]之会用到dp[i-1][j]和dp[i-1][j-c[i]] 并且 j>j-c[i]

如图，可以将二维数组降为一维数组，只要保证比当前计算的dp[i][j]的j小的还停留在“上一层”(i-1)即可

也即从后往前刷(逆序刷表)

并且可以知道可能更新的的最小的值为dp[i][c[i]] (当剩余空间比c[i]还小时，j-c[i]不在合法范围内)

因此，可以写出如下代码

void ZeroOnePack(int cost,int weight) {
     for (int i = v; i >= cost; i--)
         dp[i] = max(dp[i],dp[i - cost] + weight);
 }

使用时只需从i=1到i=n进行一遍循环即可

for(int i=1;i <= n;i++)
    ZeroOnePack(c[i],w[i]);

初始时要将dp[0][]初始化为0

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完全背包问题

条件：

• 背包大小V
• 物品件数n(每个物体有无数个)
• 第i个物品的花费c[i]
• 第i个物品的价值w[i]

即在保证花费和不超过V的情况下，尽可能让价值最大(有的题目中花费就是价值)

用dp[i][j]表示前i个物品在最大体积为j的情况下的最大价值(所求答案为dp[n][V])

对于第i个物品，我们可以选择“不选”(dp[i-1][j]) 或 “选1个”( dp[i-1][ j-c[i] ] + w[i] ) 或 “选2个”( dp[i-1][ j- 2*c[i] ] + 2*w[i] ) ……

有dp[i][j] = max{ dp[i][j] , dp[i-1][j - k*c[i]] + k*w[i] }  (0<=k<=∞ 当 j - k*c[i] <= 0 时结束循环)

由于dp[i][j]已经是选出来的最大值了，在计算dp[i][j+cost[i]]时，只需比较dp[i][j]和dp[i-1][j+c[i]]+w[i]

也即dp[i][j]=max{ dp[i][j-c[i]]+w[i] , dp[i-1][j] }

可以看出来，我们计算dp[i][j]时，需要的是不大于j的i层的数据

因此，应该从前往后刷(正向刷表)

void CompletePack(int cost,int weight) {
     for (int i = cost; i <= v; i++)
         dp[i] = max(dp[i],dp[i - cost] + weight);
 }

同上，使用时只需循环1-n即可

for(int i=1;i <= n;i++)
    ComplatePack(c[i],w[i]);

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多重背包问题

条件：

• 背包大小V
• 物品件数n(每个物体有无数个)
• 第i个物品的花费c[i]
• 第i个物品的价值w[i]
• 第i个物品的上限max[i]

即在保证花费和不超过V的情况下，尽可能让价值最大(有的题目中花费就是价值)

用dp[i][j]表示前i个物品在最大体积为j的情况下的最大价值(所求答案为dp[n][V])

有dp[i][j] = max{ dp[i-1][ j - k * D[i] ] + k * D[i] , dp[i][j] } (0 <= k <= max[i])

此时，时间复杂度为O(V*∑n[i])

采用二进制分解可以优化到O(V*∑log n[i])

对于数量为0-n的物品i，可以将其分割成多个组合。
使得所有组合加起来能够等于n，并且选取一定量的组合可以组成0-n的任意数

例如13可以分解成1、2、4、6

0=0
1=1
2=2
3=1+2
4=4
5=1+4
6=2+4
7=1+2+4
8=2+6
9=1+2+6
10=4+6
11=1+4+6
12=2+4+6
13=1+2+4+6

一个数可以分成两个数，两个数相加可以得到这个数
而这两个数还能继续分成两个数
…………
如果分成的两个数相等，则可以再下次分割只分其中一个
这样在保证尽可能少分的情况下分到最深就是需要的计算方法

这样，对于一个最多有n个的物品，可以分成(近似)log(2)n个，然后对这些进行01背包求解

如果物品i的总体积大于背包体积，则不必再分割(在范围内没有上限可以看作无限)。
使用完全背包求解

void MultiplePack(int cost,int weight,int n) {
    if (cost * n > v) {
        CompletePack(cost,weight);
    } else {
        int k = 1;
        while (k < n) {
            ZeroOnePack(cost * k,weight * k);
            n -= k;
            k *= 2;
        }
        ZeroOnePack(cost * n,weight * n);
    }
}

计算时需要

for(int i=1;i <= n;i++)
    MultiplePack(c[i],w[i]，max[i]);