ghj1222
先介绍几个符号的含义。
符号(Theta)，读音西塔，既是上界也是下界，等于，严格贴紧。
符号(O)，读音殴，表示上界，小于等于，贴紧未知。
符号(o)，读音也是殴，小于，不贴紧。
符号(Omega)，读音偶眯嘎，表示下界，大于等于，贴紧未知。
符号(omega)，读音也是偶眯嘎，表示下界，大于，不贴紧。
上面的“贴紧”是我根据tight翻译过来的(不是很准确啊)，大概就是是否严格等于的意思吧。
意思就是(Theta)是平均时间复杂度，(O)是最坏情况下的复杂度，(Omega)是最好情况下的复杂度。
假设我们有递推关系式：
(egin{aligned}T(n)=aTleft(frac n b
ight)+f(n)end{aligned})
其中，(n)为问题的规模、(a)为递推下子问题的数量，(egin{aligned}frac n bend{aligned})为每个子问题的规模，(f(n))为递推后做的额外的计算工作。
1.假设存在常数(epsilon>0)，使得(f(n)=O(n^{log_b(a)-epsilon}))，则(T(n)=Theta(n^{log_ba}))。
具体意思是f(n)的上界是n的幂次，且(log_b(a))比这个幂次要大，则时间复杂度为这个n的(log_b(a))次。
例子：二叉树的遍历。(egin{aligned}T(n)=2Tleft(frac n 2 ight)+Theta(1)end{aligned})。其中(a=2)，(b=2)，(f(n)=1)，此时(epsilon=1)。(T(n)=Theta(n))。
2.假设存在常数(kge0)，使得(f(n)=Theta (n^{log _{b}a}log ^{k}n))，则(T(n)=Theta(n^{log_ba}log^{k+1}n))。
具体意思是f(n)是n的(log_b(a))次，再乘以一个log，则复杂度是f(n)的复杂度再乘以一个log。
例子：归并排序。(egin{aligned}T(n)=2Tleft(frac n 2 ight)+Theta(n)end{aligned})。其中(a=2)，(b=2)，(f(n)=n)，此时(k=0)。(T(n)=Theta(nlog_2n))。
例子：二分搜索（折半搜索）。(egin{aligned}T(n)=Tleft({frac {n}{2}} ight)+Theta (1)end{aligned})，其中(a=1)，(b=2)，(f(n)=1)，此时(k=0)，则(T(n)=Theta(log_2n))。
3.假设存在常数(epsilon >0) ，有(f(n)=Omega (n^{log _{b}(a)+epsilon }))，同时存在常数(c<1)以及充分大的(n)满足 (afleft({frac {n}{b}} ight)leq cf(n))那么 (Tleft(n ight)=Theta left(fleft(n ight) ight))。
这个感觉没啥用啊。。。
【例题】
【NOIP2017初赛】若某算法的计算时间表示为递推关系式：
(egin{aligned}T(N)=2Tleft(frac N 2 ight)+Nlog Nend{aligned})，(T(1)=1)，则该算法的时间复杂度为______________________________________________________。
( m A .O(N) B .O(Nlog_2N) C.O(Nlog_2^2N) D.O(N^2))
【解析】套用情况2中的k=1的情况，则(T(n)=Theta(Nlog_2^2N))，选C
【NOIP2016初赛】若某算法的计算时间表示为递推关系式：
(egin{aligned}T(N)=2Tleft(frac N 4 ight)+sqrt Nend{aligned})，(T(1)=1)，则该算法的时间复杂度为______________________________________________________。
( m A .O(N) B .O(sqrt N) C.O(sqrt Nlog_2N) D.O(N^2))
【解析】套用情况2中的k=0的情况，则(T(n)=Theta(sqrt(N)log_2N))，选C
【NOIP2015初赛】某算法的计算时间表示为递推关系式：
(T(N)=T(N-1)+N)，(T(0)=1)。则该算法的时间复杂度为______________________________________________________。
( m A .O(log_2^2N) B .O(Nlog_2 N) C.O(N) D.O(N^2))
【解析】难道这个就要用主定理了？容易推导出(egin{aligned}T(N)=T(0)+1+...+n=1+frac{N*(N+1)}{2}end{aligned})，则时间复杂度为(O(N^2))，选D
【总结】
NOIP初赛考察了3年的时间复杂度分析，其中两年用到了主定理。其实你不会主定理也没事儿，只要能找几个特殊值带入，并根据符号(O)的意义排除选项即可。